概率论与数理统计 --- 第三章{多维随机变量及其分布} 第一节：二

概率论与数理统计 --- 第三章{多维随机变量及其分布} 第一节：二维随机变量 --- 上海商学院

概率论

第三章 多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量 第二节 边缘分布 第三节 条件分布 第四节 随机变量的独立性

第五节 两个随机变量的函数的分布

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第一节 二维随机变量二维随机变量 二维离散型随机变量及其分布

二维连续型随机变量及其分布

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到现在为止，我们只讨论了一维 r.v.及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够， 而需要用几个随机变量来描述.

在打靶时,命中点的位置是由 一对r .v. (两个坐标)来确定的.

飞机的重心在空中的位置是由 三个r .v. (三个坐标)来确定的等等.

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一、二维随机变量及其联合分布函数

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1. 一般地, 设 E是一个随机试验, 它的样本空间 S={ω}, 设 X1=X1(ω), X2=X2(ω), ..., Xn=Xn(ω) 是定义在 S上的随机变量, 由它们构成的一个 n维向量(X1, X2, ..., Xn)叫做 n维随机向量或 n维随机变量.2. 定义: 设 (X, Y)是二维随机变量, 如果对于任意实数 x, y, 二元函数:

称为二维随机变量 (X, Y) 的分布函数, 或者称为随机变量 X和 Y的联合分布函数. 可推广到n维.

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3. 分布函数的函数值的几何解释

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将二维随机变量 (X,Y) 看成是平面上随机点的坐标, 那么, 分布函数 F(x, y) 在点 (x, y) 处的函数值 就是随机点 (X, Y)落在下面左图所示的, 以点 (x, y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.y y

x, y

YO

X ,Y X

x

x

X

x O

x

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随机点 X ,Y 落在矩形域： [ x1 x x2 , y1 y y2 ] 内的概率为:P x1 X x2 , y1 Y y2

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F x2 , y2 F x1, y2 F x2 , y1 F x1, y1 0yy2

X ,Y x1O

x2 y1

x

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4. 分布函数F x , y 的性质： 1) F x , y 是关于变量 x 和 y 的不减函数;对任意固定的 y R及 x1 , x2 R , 当 x1 x2 时, F x1 , y F x2 , y ;

概率论

对任意固定的 x R及 y1 , y2 R , 当 y1 y2 时, F x , y1 F x , y2 ;

y y

x1 , y x1

x2 , y x2

O

x

X ,Y

X ,Y

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2) 0 F x , y 1, 且对任意固定的 y R, F , y 0,

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对任意固定的 x R, F x , 0, F , 0, F , 1.y y

x, y

YO

X ,Y X

x

x

3) F x , y 是关于 x 和 y 均右连续 :F x, y F x 0, y , F x , y F x , y 0 .

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二、二维离散型随机变量及其分布1. 定义: 如果二维随机变量 (X, Y) 全部可能取到的不相同的值 是有限对或可列无限多对,

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一维随机变量X 则称 X ,Y 是离散型随机变量. 离散型 X 的分布律

P( X xk ) pk , k=1,2, … pk 0, k=1,

2, … pk 1k

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2. 设二维离散型随机变量 (X, Y) 可能取的值是(xi, yj) i , j 1, 2, , 记: P( X xi ,Y y j ) pij ,i , j 1, 2,

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称之为二维离散型随机变量 X ,Y 的分布律, 或随机变量X和Y 的联合分布律. 3. 二维离散型随机变量 (X,Y) 的分布律具有性质：

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4.也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律.Y Xy1 y2 yj

x1 p11 p12

x2 p21 p22

xi pi 1 pi 2

p1 j

p2 j

pij

5.F(x,y) pijxi x y j y

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概率论 例1: 把一枚均匀硬币抛掷三次, 设X为三次抛掷中正面出现的次数, 而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值, 求(X,Y)的分布律.

解: (X, Y) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)

P{X=0, Y=3} 1 2

3

1 82

P{X=1, P{X=2,

3 1 1 Y=1} =3/8 1 2 2 2 3 1 1 Y=1} =3/8 2 2 23

X 01

Y

10 3 8 3 8 0

31 8 0 0 1 8

2 3

P{X=3, Y=3} 1 2 1

8.

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三、二维连续型随机变量及其分布1. 定义: 对于二维随机变量 (X, Y) 的分布函数 F x , y , 如果存在非负的函数 f x , y , 使对于任意 x, y 有:F x, y

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一维随机变量X 连续型F x

f t d t

x

x

y

x

f u, v dudv

X的概率密度函数f x

x R

则称(X, Y) 是连续型的二维随机变量, 函数 f(x, y) 称为: 二维随机变量 (X, Y)的概率密度 , 或随机变量 X 和 Y 的联合概率密度.

f ( x) 0

f ( x)dx 1

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2. 二维连续型随机变量的概率密度具有性质:1) f x , y 0 ;

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2)

f x , y dxdy 1;

R2

f x , y dxdy 1 ;

3) 设 G 是 xOy 平面上的区域 , 则有: P X , Y G

f x , y dxdy ;G

4) 在f x , y 的连续点，

f ( x, y )

F ( x, y )2

x y

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例2: 设(X,Y)的概率密度是:

C , f x, y 0,

x, y ,其它.

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其中 是平面上的有界区域, 面积为 A . 求C.解: 由1

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