第9章 弯曲刚度问题

材料力学(Materials of Mechanics)

第九章 弯曲刚度问题

材料力学

第九章 弯曲刚度问题

(Materials of Mechanics)

§9-1 引言 §9-2 挠曲轴近似微分方程 §9-3 计算梁位移的积分法 §9-4 计算梁的位移的叠加法

材料力学

第九章 梁的变形一、基本要求

(Materials of Mechanics)

1)会用积分法求挠曲线微分方程；由边界条件和连续条 会用积分法求挠曲线微分方程； 件求待定积分常数。 件求待定积分常数。 2)熟练用叠加法求梁的位移； 熟练用叠加法求梁的位移； 3) 梁的刚度条件进行和简单超静定梁的求解； 梁的刚度条件进行和简单超静定梁的求解；

二、授课重点、难点 授课重点、重点：用叠加法解静定梁的变形； 重点：用叠加法解静定梁的变形； 难点：积分法求梁的变形，用边界条件和连续条件求积分常 难点：积分法求梁的变形， 数。

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§9-1 引言一 、工程中的弯曲变形问题

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机加工车间 的行车大梁

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§9-1 引言

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§9-1 引言二、研究弯曲变形的目的★限制和利用梁的变形； 限制和利用梁的变形；

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★进行梁的刚度计算，分析静不定梁； 进行梁的刚度计算，分析静不定梁； ★为研究压杆稳定问题提供理论基础。 为研究压杆稳定问题提供理论基础。

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§9-1 引言三、梁变形的度量1、挠曲线的概念 受力产生弯曲变形的 梁，其轴线将由原来的 水平直线变成一条平面

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F挠曲线

曲线， 曲线，称为梁的挠曲线 (deflection curve)。 。

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§9-1 引言三、梁变形的度量A

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cx

F

θ

2、挠度与转角 、挠度—截面形心沿垂直与 挠度 截面形心沿垂直与

w

B

x

c’

w

B’

梁轴线发生的线位移，用w表示。 表示。 梁轴线发生的线位移， 表示

挠曲方程： 挠曲方程： w=f(x) 正负号： 正负号：规定向下为正

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§9-1 引言三、梁变形的度量A

(Materials of Mechanics)

cx

F

3、转角(angle of rotation) 转角( ) 转角： 转角：每一横截面绕其中性轴转 过的角度。(横截面对其原来位 过的角度。(横截面对其原来位 。( 置的角位移θ) 置的角位移 )

θ

y

B

x

c’

B’

θ表示 θ=f2(x)顺时针为正 ( )

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§9-1 引言4、挠度和转角的关系A

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挠曲线 w=f(x) 上任意点的 切线斜率为： θ 切线斜率为：tanθ =dw/dx 所以θ 很小 转角方程： 转角方程：

x

θ w θ

c

FB

x

c’

由于挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线 由于挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线dw θ ≈ tan θ = = w′ dx

θ = w′

结论

:梁截面的转角等于该截面的挠度 对于位置坐标 对于位置坐标x 结论：梁截面的转角等于该截面的挠度w对于位置坐标 的一阶导数。 的一阶导数。

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§9-2 挠曲轴近似微分方程

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一、挠曲线的近似微分方程1)物理关系： 物理关系： 关系 2)几何关系： )几何关系： (高等数学) 高等数学)

1 M ( x) = ρ ( x) EIz

1 d 2 w / dx2 =± 2 3/ 2 ρ ( x) [1 + (dw / dx) ]1 d 2w = ± ρ(x) dx 2

d w M (x) = ± 2 dx EI z挠曲线的近似微分方程式

2

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§9-2 挠曲轴近似微分方程

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一、挠曲线的近似微分方程

M (x) w ′′ = EI z

计算梁位移的 §9-3 计算梁位移的积分法 1、基本方程： EI z w ′′ = M ( x ) 、基本方程： 2、积分一次求转角： 积分一次求转角：

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EI z w ′ = ∫ M ( x )dx + C

3、积分二次求挠曲线方程： 积分二次求挠曲线方程：

EI z w = ∫ M ( x )dx + Cx + DC、D积分常数，由边界条件与挠曲线的光滑连 积分常数， 积分常数 续条件确定。 续条件确定。

计算梁位移的 §9-3 计算梁位移的积分法 4、积分常数的确定

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(1)边界条件(boundary conditions)-梁横截面的已知 )边界条件( ) 位移或约束条件 ① 悬臂梁固定端

x=0 ; θ=0, w=0② 简支梁支座处 简支梁支座处

x=0 ; wA=0; x=a+b ; wB=0

计算梁位移的 §9-3 计算梁位移的积分法

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(2)连续光滑条件(continuity condition)-梁的分段处， )连续光滑条件( ) 梁的分段处， 其挠曲线所应满足的连续、光滑条件。 其挠曲线所应满足的连续、光滑条件。A C B

x

a

b

x=a 时， w C 左 = w C 右A

θC

左

= θC右B

M

a 如：中间铰处

C

l

x = a时，wC左 = wC右

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课堂练习

(Materials of Mechanics)

1、外伸梁，其边界条件和连续条件？ 外伸梁，其边界条件和连续条件？

x=0,wA=0; , ; x=4;wB=0; wB左= wB右 θB左= θB右 ； ; 左 右 左 右