2014年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲 有答案

2014年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲

一、填空题

1若关于实数x的不等式

【答案】x 5 x 3 a无解,则实数a的取值范围是_________ ,8

2已知a, b, m, n均为正数, 且a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为_______.

【答案】2

3(不等式选做题)在实数范围内,不等式x 2 1 1的解集为_________

【答案】 0,4

24设x,y,z R,且满足:x y2 z2

1,x 2y 3z 则x y z _______.

二、解答题 1选修4—5;不等式选讲

设a,b,c均为正数,且a b c 1,证明: a2b2c21(Ⅰ)ab bc ca ; (Ⅱ) 1. bca3

【答案】

2选修4-5:不等式选讲

已知函数f x x a,其中a 1.

(I)当a=2时,求不等式f x 4 x 4的解集;

(II)已知关于x的不等式f 2x a 2f x 2的解集为 x|1 x 2 ,求a的值.

【答案】

3不等式选讲:设不等式31x 2 a(a N*)的解集为A,且 A, A. 22

(1)求a的值;

(2)求函数f(x) x a x 2的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)因为3131 A,且 A,所以 2 a,且 2 a 2222

解得13 a ,又因为a N*,所以a 1 22

(Ⅱ)因为|x 1| |x 2| |(x 1) (x 2)| 3

当且仅当(x 1)(x 2) 0,即 1 x 2时取得等号,所以f(x)的最小值为3

4 D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.

已知a b>0,求证:2a3 b3 2ab2 a2b

[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

【答案】D证明:∵2a b 2ab ab 3322 2a3 2ab2 (a2b b3) 2aa2 b2 b(a2 b2)

a2 b2(2a b) (a b)(a b)(2a b)

又∵a b>0,∴a b>0,a b 02a b 0,

∴(a b)(a b)(2a b) 0

∴2a3 b3 2ab2 a2b 0

∴2a3 b3 2ab2 a2b

5 选修4—5:不等式选讲

已知函数f(x)=|2x 1| |2x a|,g(x)=x 3.

(Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;

(Ⅱ)设a>-1,且当x∈[ a1,)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围. 22

【答案】当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x 1| |2x 2| x 3 0,

1 5x, x 2 1 设函数y=|2x 1| |2x 2| x 3,y= x 2, x 1, 2 3x 6, x 1

其图像如图所示

从图像可知,当且仅当x (0,2)时,y<0,∴原不等式解集是{x|0 x 2}.

(Ⅱ)当x∈[ a1,)时,f(x)=1 a,不等式f(x)≤g(x)化为1 a x 3, 22

4a1a,)都成立,故 a 2,即a≤, 3222

4]. 3∴x a 2对x∈[ ∴a的取值范围为(-1,

6 在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”.

如图6所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B( 10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心

.

(I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);

(II)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小.

【答案】解: 设点P(x,y),且y 0.

(Ⅰ) 点P到点A(3,20)的“L路径”的最短距离d,

等于水平距离 垂直距离，即d |x - 3| + |y - 20|,其中y 0,x R.

(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识.

点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v.且h和v互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;显然当x [ 10,14]时,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| 24,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45.

所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和d的最小值为45.