第9章小波变换基础

第9章 小波变换基础

9.1

小波变换的定义

小波变换的定义1 t b a , b (t ) ( ) (9.1.1) a a 若a,b不断地变化，我们可得 (t ) 到一族函数 (t )。给定平 a,b方可积的信号 x(t ) ,即 x(t ) L2 ( R) 则小x(t)的小波变换(Wavelet Transform,WT):WTx (a, b) a,b

给定一个基本函数，令

x(t ) (t )dt x(t ), a ,b (t )

1 t b x ( t ) ( )dt a a

(9.1.2)

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信号x(t )的小波变换 WT (a, b) 是a和b的函数， x

b是时移，a是尺度因子。 (t ) 又称为基本小波，或母小波。 a,b (t )是母 小波经移位和伸缩所产生的一族函数，称之为

小波基函数，或简称小波基。 式中,b的作用是确定对x(t)分析的时间位置，

也即时间中心。尺度因子a的作用是把基本小 波1 (t ) a a , b (t ) 作伸缩。 (t ) 式中的因子

是为了保证在不同的尺度时，母函数有着相同的能量，即

始终能和

第9章 小波变换基础2 1 t b a ,b (t ) dt a ( a ) dt (t ) dt2 2

令的傅里叶变换为，的傅里叶变换为，由傅里叶变换的

性质，的傅里叶变换为： 1 t b a , b (t ) ( ) a a

a ,b ( )

a (a )e j b

(9.1.3)

由Parsevals定理，(9.1.2)式可重新表为：

1 WTx ( a, b) X ( ), a , b ( ) 2 2 此式即为小波变换的频域表达式。 a

X ( ) ( a )e j b d (9.1.4)

第9章 小波变换基础

小波变换的恒Q性

9.2 小波变换的特点

a , b (t ) 在 由小波变换的两个定义可以看出，如果 时域是有限支撑的，那么它和 x(t ) 作内积后将保证 在时域也是有限支撑的，从而实现所希望的时域定位 功能，也即WTx (a, b)反映的是 x(t ) 在b附近的性质； 若 a,b (t ) 具有带通性质，即 a,b ( ) 围绕着中心频率 是有限支撑的，那么 a,b (t )和 X ( ) 作内积后也将 反映在中频率处的局部性质，而实现好的频率定 位性质。

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(t )的时间中心是 t 0 ,时宽是 t , 若 ( ) 的频率中心是 ,带宽是 ,那么 ( t )的时间中心仍是t0 ,但时 0 a t ( ) 的频谱a ( a )的频率中心变为 0 / a, 宽变成 a t,t 带宽变成 / a 。这样, ( )的时宽-带宽积仍是 t , a

a

与a无关。

定义： Q / 0 =带宽/中心频率t 为小波 (t )的品质因数，对 ( ) ,其 / a 带宽/中心频率= / a / 0 Q 0

a

第9章 小波变换基础

第9章 小波变换基础

不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间 中心和频率中心的关系 t / 2 (a 1/ 2) 2 0 (a 1)

2

t 2 t

0

/ 2

(a 2) 0 / 2

图9.2.2 a取不同值时小波变换对信号分析的时-频区间

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小波变换的时域及频率分辨率由于小波变换的恒Q性质，因此在不同尺度下，图9.2.2

中三个时、频分析区间(即三个矩形)的面积保持不变。由此，小波变换提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口， 该分析窗口在高频端(图中 2 0处)的频率分辨率不好(矩 形窗的频率边变长),但时域的分辨率变好(矩形的时间边 变短);反之，在低频端(图中 0 / 2 处),频率分辨率变

好，而时域分辨率变差。但在不同的值下，图9.2.2中分析窗的面积保持不变，也即时、频分辨率可以随分析任务的要 作出调整。

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信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份。对这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成

份间隔短的需要，对频域的分辨率则可以放宽，当然，时、频分析窗也应处在高频端的位置。低频信号往往是

信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中

心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自动满足这些客观实际的需要。

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用较小的a对信号作高频分析时，实际上是用高 频小波对信号作细致观察，用较大的a对信号作低 频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观 察。小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分 析时的规律，也符合人们的视觉特点。

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综上所述，由于小波变换具有恒Q性质及自动调节对信号分析的时宽/带宽等一系列突出优点，因此

被人们称为信号分析的“数学显微镜”。小波变换是 八十年代后期发展起来的应用数学分支。

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9.3 时移性质

连续小波变换的计算性质

是WT x (a, b ) 。记 y(t ) x(t ) ,1 WT y (a, b) a1 a

若 x(t ) 的CWT是 WTx (a, b) ,那么 x(t ) 的CWTt b x(t ) ( a )dtt (b ) )dt a

x ( t ) (

WT x (a, b )

(9.3.1)

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尺度转换性质

如果x(t)的CWT是WTx ( a, b),令 y (t ) x( t ) ,则 证明:

则

t b 1 WT y ( a, b) x( t ) ( )dt a a1 WT y (a, b) a 1 1 x ( t ) (

WTy (a, b)

1

WTx ( a, b)

令 t t

(9.3.2)

t b 1 ) dt a

a

x ( t ) (

t b 1 )dt WT x ( a, b) a

该性质指出，当信号的时间轴按 作伸缩时，其小波变换在a 和b两个轴上同时要作相同比例的伸缩，但小波变

换的波形不 变。这是小波变换优点的又一体现。

WTx (a, b)第9章 小波变换基础

微分性质

如果x(t)的CWT是 WTx (a, b) ,令 y (t ) dt x (t ) , 则 WTy ( a, b) WTx ( a, b) b (9.3.3) 1 dx(t ) t b 证明： WT y (a, b) a dt ( a )dt

dx (t )

1 x(t t ) x(t ) t b Lim ( )dt t 0 t a a 1 1 1 t b t b Lim x ( t t ) ( ) dt x ( t ) ( ) dt t 0 t a a a a

WTx ( a, b t ) WTx ( a, b) 由移位性质有：WTy (a, b) Lim t 0 t 即 WTy ( a, b) WTx ( a, b) b

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两个信号卷积的CWT如果x(t),h(t)的CWT分别是WTx (a, b) 及WTh (a, b) ,令y(t ) x(t ) h(t )

则

WT y (a, b) x(t ) WTh (a, b)

b

h(t ) WT x (a, b)(9.3.4) 式中符号 表示对变量b作卷积。b

b

第9章 小波变换基础

两个信号和的CWT令 x1 (t ), x2 (t )的CWT分别是WTx1(a, b),WTx 2 (a, b) , 且 x(t ) x1(t ) x2 (t ),则WTx (a, b) WTx1(a, b) WTx 2 (a, b)

(9.3.5a)

同理，如果 x(t ) k1x1(t ) k2 x2 (t ),则WTx (a, b) k1WTx1(a, b) k2WTx 2 (a, b) (9.3.5b)即两个信号和的CWT等于各自CWT的和，也即小波变换满足 叠加原理。