【中考备战策略】2014中考数学总复习_第30讲_圆的有关概念及性质

第八章第30讲

圆

圆的有关概念及性质

考点一

圆的定义及其性质

1.圆的定义有两种方式 (1)在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆.固定的 端点 O 叫做 圆心，线段 OA 叫做 半径. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的 集合.

2.圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是 它的对称轴. (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形. (3)圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重 合，这就是圆的旋转不变性.

考点二

垂径定理及推论

1 .垂径定理：垂直于弦的直径 平分 弦，并且 平分弦所对的两条弧. 如图，CD 是⊙O 的直径，AB 为弦，CD⊥AB, 垂足为 E,则 AE=EB, AD = DB , AC = BC .

2.推论：平分弦(不是直径)的直径 垂直于弦，并 且平分弦所对的两条弧. 温馨提示 平分弦的直径不一定垂直于弦，只有被平分的弦 不是直径时才互相垂直.

考点三

圆心角、弧、弦之间的关系

1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧 相等，所对的弦 相等. 2.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那 么它们所对的圆心角 相等，所对的弦 相等；在同圆或 等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 相 等，所对的弧 相等.

考点四

圆心角与圆周角

1.定义：顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆 上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所

对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半 .

如图，圆周角∠ C 和圆心角∠ AOB 都对着 AB , 1 则∠ C= ∠ AOB. 2

3.推论：半圆 (或直径)所对的圆周角是直角 ，90° 的圆周角所对的弦是直径 .

温馨提示 1.圆周角定理的意义在于把圆周角和圆心角这两 类不同的角联系在一起 . 2.同一条弧所对的圆周角相等； 同一条弦所对的圆 周角相等或互补 . 3.当已知条件中有直径时， 常常作直径所对的圆周 角，这是圆中常添加的辅助线 .

考点五

圆内接四边形性质定理

1.性质定理 1:圆内接四边形的对角互补. 2.性质定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O,则∠A+∠BCD=∠B+ ∠D=180° ,∠DCE=∠A.

考点六

圆的性质的应用

1.垂径定理的应用 用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦 的垂线段 (即弦心距 ),则垂足为弦的中点，再利用解由 半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求 解的目的.

2.借助在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角和圆心角相等进行角的等量代换；也可在同圆或等 圆中， 由相等的

圆周角所对的弧(或弦 )相等， 进行弧 (或 弦 )的等量代换.

考点一 垂径定理及其推论 例 1 (2013· 上海)在⊙ O 中，已知半径长为 3,弦 AB 长为 4,那么圆心 O 到 AB 的距离为_________.

【点拨】如图，过圆心 O 作 AB 的垂线交 AB 于点 1 D,由垂径定理，得 AD= AB= 2.在 Rt△ AOD 中，由 2 勾股定理，得 OD= AO2- AD2= 5.

【答案】

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