高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社)习题五答案详解

高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题五答案详解

高等数学上（修订版）黄立宏（复旦出版社）

习题五答案详解

1． 求下列各曲线所围图形的面积：

1（1） y=2 与x2+y2=8(两部分都要计算)；

2解：如图D1=D2

y=12

解方程组 2 得交点A(2，2)

22 x+y=8

(1)

2

12 D1= 8 x x2 dx=π+2 3 0 4

∴ D1+D2=2π+,

3

44

D3+D4=8π 2π+=6π ．

33 1

（2） y=与直线y=x及x=2；

x

113

解： D1= x dx= 2 lnx = ln2.

2 12 1 x (2)

（3） y=ex，y=e x与直线x=1；

11

x x解：D= e edx=e+2． () 0e

2

2

(3) （4） y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb．(b>a>0)； 解：D=

lnbylna

edy=

b

a．

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(4)

（5） 抛物线y=x2和y= x2 2；

2

解：解方程组 y=x y= x2

2

得交点 (1，1)，( 1，1) D= 1

x2 ( x2+2 )dx=4 1

( x2

+1=8

1

)dx3

(5)

（6） y=sinx，y=cosx及直线x=π4，x=9

4

π；

5 5

解：D=2 4

(sinx cosx)dx =2[ cosx sinx]4

=42．

44

(6)

（7） 抛物线y= x2+4x 3及其在(0， 3)和(3，0)处的切线；解：y′= 2x+4． ∴y′(0)=4，y′(3)= 2． ∵抛物线在点(0， 3)处切线方程是y=4x 3 在(3，0)处的切线是y= 2x+6 两切线交点是(3

2

，3)．故所求面积为

(7)

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2

dx 3 2x 6 x2 4x 3 dxD 4x 3 x 4x 3

2

3

20320

3

x2dx 3 x2 6x 9 dx

2

3

9 .4

（8） 摆线x=a(t sint)，y=a(1 cost)的一拱 (0 t 2 )与x轴； 解：当t=0时，x=0, 当t=2 时，x=2 a． 所以

S

2πa

ydx a 1 cost da t sint

2π

2π

a2

1 cost

2

dt

3πa2.

(8)

（9） 极坐标曲线 ρ=asin3φ； a2 2

解：D=3D13sin3φdφ

2

3a2 1 cos6φ= ·3 φ 2 2

=

3a 13

·φ φ 4 6

2

a2=． 4

(9) （10） ρ=2acosφ；

4a2·

解：D=2D1=2 2·cos2φdφ

02

1 cos2φdφ =4a 2

2 0

2

112

=4a2 φ+sin2φ

2 2

1

=4a2 a2．

22

(10)

2． 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积： （1） r=a(1+cosθ)及r=2acosθ

;

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解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故D=πa2．

(11)

（2） r=2cosθ及r2=3sin2θ．

解：如图12，解方程组 r=2cosθ r2=3sin2θ

得cosθ=0或tanθ=3

, 即θ= 2θ=

6

(12)

D= 613sin2θdθ+ 212 02

2(2cosθ)dθ 6

2

= 34cos2θ 6θ +2 1 4

sin4θ 0

6

=

6

． 3． 已知曲线f(x)=x x2与g(x)=ax围成的图形面积等于9

2

a．

2

解：如图13，解方程组 f(x)=x x

g(x)=ax

得交点坐标为(0，0)，(1 a，a(1 a))

∴D= 1 a x x2 ax0

()dx

= 1 2

1 a)·x2 133 1 a

0

=

1

6

1 a)3 依题意得 16(1 a)3=9

2

得a= 2．

(13)

4． 求下列旋转体的体积： （1） 由y=x2与y2

=

x

3围成的平面图形绕x轴旋转；

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y=x

解： 求两曲线交点 23得(0，0)，(1，1)

y=x

34

V= (x x)dx

01

2

11

= 4 x5 45 0

=

． （14） 20

1

（2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转；

2

128 解：见图14，Vx= x6dx= 7 0

Vy= 22 y3dy

0

=64

． 5

8

2

（2） 星形线x2/3+y2/3=a2/3绕x轴旋转； 解：见图15，该曲线的参数方程是：

x=acost 0 t 2 ， 3 y=asint

3

由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为

2

Vx=2 ydx

323

=2 (asint)d(acost)

2

72

=6 a 2sintcostdt

0

3

0a

=

323

a 105

(15)

5． 设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。

解：如图16建立直角坐标系，则图中点E，D的坐标分别为：E(a，h)， D(A，0)，h

于是得到ED所在的直线方程为：y=x A)

a A

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(16)

对于任意的y∈[0，h]，过点(0，y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的A aB b半轴为： x1=A y，同理可得该椭圆的另一半轴为： x2=B ．

hh

故该椭圆面积为

A a B b

A(y)= x1x2= A B y

h h 从而立体的体积为

A A ay B B by dy V= Aydy= () 0h h 0

h

h

1

=h[bA+aB+2(ab+AB)] . 6

6． 计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图

17.

(17)

解：以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x2+y2=R2．

过区间[ R，R]上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为(x，y)，则该等边三角形的边长为2y，故其面积等于

A(x)=

3

2y)2=y2=3(R2 x2) ( R≤x R) 4

R

从而该立体的体积为

V= =

R

A(x)dx= 3(R2 x2)dx R R

433

R． 3

7． 求下列曲线段的弧长： （1） y2=2x ，0≤x≤2；

1解：见图18，2yy′=2． y′=

y∴1+y′2=1+

1

从而 yl=2 0

=2

2

2

(18)

2

1+y′dx=21+dx y

02

21y

1+yd =2 1+ydy 2 0y0

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=y1+y+ln(y+1+y) 2

0=25+ …… 此处隐藏：5098字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……