09 工程力学-梁的弯曲变形

第 9章§9–1 概述

弯曲变形

§9–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §9–3 按叠加原理求梁的挠度与转角 §9–4 梁的刚度校核

§9–5 如何提高梁的承载能力

§9-1 概 述

研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；

②解超静定梁(变形几何条件提供补充方程)。

一、度量梁变形的两个基本位移量1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。 与 f 同向为正，反之为负。 P 2.转角：横截面绕其中性轴转 C x 动的角度。用 表示，顺时 v f C1 针转动为正，反之为负。

二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为： v =f (x)小变形

三、转角与挠曲线的关系：

df tg dx

f

(1)

§9-2

梁的挠曲线近似微分方程及其积分

一、挠曲线近似微分方程1

M>0

x

M z ( x) EI z小变形3

f ( x) 0f

1

x

f ( x) (1 f 2 )2

f ( x)

M z ( x) f ( x) EI z ( x ) M ( x ) f EI

f

M<0 f ( x) 0

…… (2)

式(2)就是挠曲线近似微分方程。

对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：

EIf ( x ) M ( x )二、求挠曲线方程(弹性曲线)1.微分方程的积分

EIf ( x) M ( x)

EI f ( x) ( M ( x)) dx C1

EIf ( x) ( ( M ( x)) dx)dx C1 x C22.位移边界条件 A C P B P D

支点位移条件：

fA 0 连续条件： 光滑条件：

fB 0fC fC

fD 0

D 0 C右

或写成 fC左 fC右或写成 C 左

C C

讨论：①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件(边界条件、连续条 件)确定。

④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。

例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 P 解： L 建立坐标系并写出弯矩方程M ( x) P( x L)

xf

写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数

EIf M ( x) P( L x)1 EI f P ( L x) 2 C1 2

1 3 EIf (0) PL C2 0 61 2 EI (0) EI f (0) PL C1 0 2

1 EIf P ( L x) 3 C1 x C2 6

1 2 1 3 C1 PL ; C2 PL 2 6

P L x

f 写出弹性曲线方程并画出曲线

f ( x)

P ( L x)3 3L2 x L3 6 EI

最大挠度及最大转角

PL2 max ( L) 2 EI

PL3 f max f ( L) 3EI

解： 建立坐标系并写出弯矩方程 P( x a ) M ( x)

0 (0 x a) (a x L)

a L f

P

x

写出微分方程的积分并积分

P( a x) EIf 0

(0 x a) ( a x L) 1 3 P ( a x ) C1 x C2 EIf 6 D1 x D2

1 2 P(a x) C1 EIf 2 D1

应用位移边界条件求积分常数

1 3 EIf (0) Pa C2 0 6 1 2 EI (0) Pa C1 0 2f

a L

P

x

(a ) (a )f (a ) f (a )

C1 D1

C1a C2 D1a D2

1 1 2 C1 D1 Pa ; C2 D2 Pa 3 2 6

写出弹性曲线方程并画出曲线

P 3 2 3 ( a x ) 3 a x a 6 EI f ( x) P 3a 2 x a 3 6 EI

(0 x a ) (a x L)

最大挠度及最大转角

a

P

Pa2 max (a) 2 EI f max Pa2 3L a f ( L) 6 EIf

L

x

§9-3

按叠加原理求梁的挠度与转角

一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。

( P1 P2 Pn ) 1 ( P1 ) 2 ( P2 ) n ( Pn )f ( P1 P2 Pn ) f1 ( P1 ) f 2 ( P2 ) f n ( Pn )二、结构形式叠加(逐段刚化法):

PA C

q 例4 按叠加原理求A点转角和C点 B 挠度。

aP A

a解、 载荷分解如图 由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。

=B

PA

A

q B

Pa 4 EI

2

Pa3 f PC 6 EI

+

qa3 qA 3 EI

5qL4 f qC 24EI

PA C

q B

Pa PA 4 EI

2

Pa3 f PC 6 EI

aP A

a

qa3 qA 3 EI

5qL4 f qC 24EI

=B

叠加

A PA qAa2 (3P 4qa) 12EI

+q B

A

5qa4 Pa3 fC 24EI 6 EI

例5 按叠加原理求C点挠度。 解： 载荷无限分解如图q0 C x 0.5L dx 0.5L b x2bq0 dP q ( x)dx db L

由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。(dP)b(3L2 4b 3 ) f dPC 48EI

f

叠加

qb2 (3L2 4b 3 ) db 24EI

f qC f dPC

0.5 L

0

qb2 (3L2 4b 3 ) qL4 db 24EIL 240EI