1-6 行列式按行列展开

线性代数课件

线性代数课件

一、余子式与代数余子式例如a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33

a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 ,

a 11 a 22 a 33 a 23 a 32

a1 2 a 2 1 a 3 3 a 2 3 a 3 1

a 13 a 21 a 32 a 22 a 31 a1 1 a 22 a 32 a 23 a 33 a1 2 a 21 a 31 a 23 a 33 a1 3 a 21 a 31 a 22 a 32

线性代数课件

在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素 a ij 的余子式，记作 M ij .记 A ij 1 i j

M ij ,

叫做元素 a ij 的代数余子式.a 14 a 24 a 34 a 4423

例如D

a 11 a 21 a 31 a 41

a 12 a 22 a 32 a 422 3

a 13 a 23 a 33 a 43M23

a 11 M23

a 12 a 32 a 42

a 14 a 34 a 44

a 31 a 41

A 23 1

M

.

线性代数课件

a 11 D a 21 a 31 a 41

a 12 a 22 a 32 a 421 2

a 13 a 23 a 33 a 43

a 14 a 24 a 34 a 44

a 21,

a 23 a 33 a 43

a 24 a 34 , a 44

M 12 a 31 a 41

A 12 1

M 12 M 12 .

a 11 M 44 a 21 a 31

a 12 a 22 a 32

a 13 a 23 , A 44 1 4 4 M 44 M 44 . a 33

行列式的每个元素分别 个代数余子式 .

对应着一个余子式和一

线性代数课件

引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积，即 D a ij A ij .a 11 a 12 a 22 0 a 42 a 13 a 23 a 33 a 43 a 14 a 24 0 a 44

例如 D

a 21 0 a 41

a 11 1 3 3

a 12 a 22 a 42

a 14 a 24 . a 44

a 33 a 21 a 41

线性代数课件

二、行列式按行(列)展开法则定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即D a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a in A in

i 1,2 , , n

线性代数课件

例73 D 5 2 1 1 1 0 5 5c 1 2 c 3 11 c4 c3

1 3 1 3

2 4 1 3 1 1 0 5 1 3 1 3 1 1 0 0

0 5

线性代数课件

5 ( 1)3 3

1 1 5 1 2 5

1 1 0 1 0 0

11 5 5 6 5

r2 r1

( 1)

1 3

6 5

2 5

8 0

2 5

40 .

线性代数课件

5 1

3 7 2 4 2 0 2 0 0 0

1 2 3 1 3

2 5 1 4 5

0 2 0 0 0

例增4 计算行列式 D 00 0 5 1 3 7 2 4 2 1 2 3 1 3 2 5 1 4 5

解

D 0 0 0

线性代数课件

5 1 2 5

3 2 4 2

1 3 1 3

2 1 r2 2 r1 4 5r3 r1

0 2 0 0

2 2 5 4 2

3 1 3

1 4 5

2 10 0 0

3 7 6

1 2 10 2 6

7 6

2 6

20 42 12 1080 .

线性代数课件

例增5 书上习题一6(4) 证明：1 a a;

1 b b b2 4

1 c c c2 4

1 d d d2 4

2 4

a

( a b )( a c )( a d )( b c )( b d )

( c d )( a b c d )

线性代数课件

1

0 b a b a2 4 2 4

0 c a c a2 4 2 4

0 d a d d2 4

证：

左边

a a a2 4

a a

2 4

b a

c a

b a =2

c a2 2

2

d a2 2

b a2 2

c a2 2

d a2 2 2

2 2

b (b a ) b a 2

c (c a ) c a

d (d a ) d a

b a2 2

2 2 2

c a2 2

2 2 2

d a2 2

2 2

a (b a )

a (c a )

a (d a )

线性代数课件

1 = ( b a )( c a )( d a )2

1 c a c (c a )2

1 d a d (d a )2

b a b (b a )

线性代数课件

= ( b a )( c a )( d a ) 1 b a b (b a )2 2

0 c b c (c a ) b (b a )2 2

0 d b d (d a ) b (b a )2

= ( b a )( c a )( d a )( c b )( d b ) 1 ( c bc b ) a ( c b )2 2

1 (d2

bd b ) a ( d b )2

= ( a b )( a c )( a d )( b c )( b d )( c d )( a b c d )证毕。

线性代数课件

例增7,书上习题一8(6)1 a1 Dn 1 1 1 1 a2 1 1 1 1 an

其中 a 1 a 2 a n 0

解

:

1 a1 1 1

1 1 a2 1

1 1 1 an

Dn

c1 c 2 , c 2 c 3 c3 c4 ,

线性代数课件

a1 a2 0 0 0 0

0 a2 a3 0 0 0

0 0 a3 a4 0 0

a1

0 0 0 0 a n 1 00 a2 a3 0 0 0

0 0 0 0 a n 1 an0 0 a3 a4 0 0

1 1 1 1 1 1 an 0 0 0 0 a n 2 0 0 0 0 0 a n 2 0 0 0 0 0 0 an

按最后一列 展开(由下往上)

a2 0

( 1 a n )( a 1 a 2 a n 1 )

0 0 0