第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题汇编

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2013年物理竞赛复赛模拟试题-第一套

命题人 蔡子星

一、(20分)某人在设计房子的时候尽量节省空间，弄了一个立起来是储物架，放下来时床的家具。他设计得很精巧，使得在放下的过程中，架子是保持水平的，而且人不怎么费劲。下面我们给出一种设计。

AB、CD、AD是三根相互铰接的轻杆，AB CD 2.0m，AD 0.5m。这样就能保证架子上的东西不会掉下来。但是考虑到

负重分别加在D点和CD中点O点P1 10kg，P2 20kg，直接

把床推上放下会比较费力，而且容易砸到人，即使没有砸到人，砸到花花草草也不好。为了解决这个问题，我们在AB杆上距离A点 0.5m处的M点连一根原长可以忽略的弹簧到D点。这样就可以自

由的上下推动床而几乎不费力了。g 10N/kg

（1） 为了尽量省力，弹簧的经度系数k应当为多少？

（2） 当床与墙面夹角 30 时，请计算AD杆上的受力。

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第一题解答：

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二、(22分)天宫一号圆满完成了国内第一次太空授课。在课堂演示中我们看到了如下情景，一个水球悬浮在空中，我们可以通过水球构成的透镜看到宇航员倒立的像。假设水球半径为r，折射率为n。在计算中我们取傍轴近似（只计算小角度范围的光线成的像）

假设物体、水球、实像之间的相对位置如图所示，由于相机没有变焦，因而只能对物体前方距离为D处的物体能够清晰成像。

（1） 随着球心到物体之间距离l的变化，将发现两次能清晰成像的位置l1、求|l1 l2|，l2。以及两个实像大小的比值

（2） D应当满足什么条件才能观察到上述现象。 第二题解答

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三、(23分)如图所示，一个半径为r的匀质薄壁圆筒，质量为m，被轴承限制只能绕着其中心轴旋转。一根长为l 2r的不可伸长的细绳一端系在圆筒上，另一端连接一个质量m的质点，开始如图静止。沿垂直于绳子的方向给质点大小为J mv0的冲量。

试计算说明，求当绳子与接触点法线夹角是否能到达30 ，如果可以求出圆筒相对地面的角速度，如果不可以说明理由。

第三题解答：

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四、(25分)我们想做一个演示电磁感应定律的实验：造一个大电磁铁，正上面放一个细铁环，半径为R 10cm，横截面为一个半径为r 1mm的圆，电导率为 3.7 10 m，密度为 2.7 10kg m，真空介电常数已知。在铁环的位置磁场大小为B kI，

3

3

7 1 1

k 0.2 10 2N A 2 m 1，方向与竖直夹角 30 ，假磁铁在圆环内磁场的竖直分量不

变。在磁铁中通入如下的正弦交流电，频率均为f 10kHz（很高），振幅大小为I0

I(t

)

t

在这种情景下是否可以造成“悬浮”的现象，如果可以，估算出I0的大小，如果不可以说明理由。（圆环的自感约为6 10H，需要计算说明是否可以忽略） 第四题解答：

7

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五、(22分)理想的非门可以视为一个受控电压源：当输入端电压大于Uc 6V时，输出端相当于和地线之间短路；当输入端电压小于Uc时，输出端相当于和地线之间有一个理想电压源，电源电压U0 12V。等效电路图如图所示。不同非门中接地点可以视为是同一个点。我们利用非门、电容和电阻能够做成一个输出方波信号的多谐振荡器。画出下图电路中VO2随着时间的变换关系。

Vi

12V

VO 12V

t

RC

Vi

0V

2

VO

0V

提示：已知如左下图的RC电路，从刚接通电路开始电容上电压随时间变化规律为：

UC(t) U0(1 e

)

C

R

U0

t

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第五题解答

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六、(22分)在真空中有一个体积为V0的绝热硬箱子，内部有压强为P0温度为T0的理想气体。摩尔质量为 ，定容摩尔比热为CV

3

R。现在通过一个多孔塞让气体缓缓漏出。 2

（1）当气体漏出一半时候，箱子内温度为多少？

（2）假设漏出气体的过程中，压强差做的功全部转换为气体的动能，问气体全部漏出的过程中箱子一共可以获得多少动量？ 提示：理想气体绝热方程为pVCV RCV

b

常数， xndx

1

(bn 1 an 1) 第六题解答：a

n 1

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七、(26分)在诱导原子核衰变的时候，有会用到 （读作muon，中文缪子）代替原子中的一个电子。原子核核电荷数为Z 65。 除了质量比电子重207倍之外几乎没有别的区别。电子质量me 0.91 10

30

kg，电子电量e 1.6 10 19C，普朗克常数h 6.64 10 34Js

（1）我们利用玻尔模型和牛顿力学做一个简单估计， 的基态和第一激发态之间的能级差为多少？用电子伏特做单位表示。

（2）计算上一问中，基态 的速度为多少？如果考虑相对论效应，会使得基态轨道半径相对于牛顿力学情景相对变化多少？ （3）原子核的质量为mn 2.34 10

25

kg，如果考虑到原子核质量并非远大于 质量，

则玻尔量子化改为体系总角动量（不计自旋）量子化。考虑这个效应，基态能量变化百分比为多少？ 第七题解答：

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2013年物理竞赛复赛模拟试题—第一套参考解答

一、(20分)某人在设计房子的时候尽量节省空间，弄了一个立起来是储物架，放下来时床的家具。他设计得很精巧，使得在放下的过程中，架子是保持水平的，而且人不怎么费劲。下面我们给出一种设计。

，AB、CD、AD是三根相互铰接的轻杆，AB CD 2.0mAD 0.5m。这样就能保证架子上的东西不会掉下来。但是考虑到

负重分别加在D点和CD中点O点P1 10kg，P2 20kg，直接 把床推上放下会比较费力，而且容易砸到人，即使没有砸到人，砸

到花花草草也不好。为了解决这个问题，我们在AB杆上距离A点

0.5m处的M点连一根原长可以忽略的弹簧到D点。这样就可以自由的上下推动床而几乎不费力了。g 10N/kg

（1） 为了尽量省力，弹簧的经度系数k应当为多少？

（2） 当床与墙面夹角 30 时，请计算AD杆上的受力。 【解答】

（1）如果势能处处恒定则无需外力。令AB l 2.0m，AD AM a 0.5m

由余弦定理DM重力势能

2

a2 a2 2a2cos

（1分）

l coscos Ep1 PlP12

2

弹性势能

（2分）

112

（2分） Ep2 kDM k(2a2 2a2cos )

22

l2

要求总势能为常数，则有(PlPka)cos 为常数，于是 12

2

l PglPg12

1600Nm-1 （5分） k 2

a

注：其它方法只要结果正确，过程无明显错误均给分

（2）由于AD是轻杆，且只在两端受力，所以受力沿杆，设为N

对于AB杆，以B为支点，由合外力矩等于0

Nlsin kDM

3l

sin AMD 0 （4分） 4

AMD中由正弦定理

sin AMDsin

（2分）

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