12-2二重积分的计算,直角 高等教育出版社 微积分下

第二节 二重积分的计算法

第十章

一、利用直角坐标计算二重积分 二、交换积分顺序 三、利用极坐标计算二重积分

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一、利用直角坐标计算二重积分由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f (x, y) ≥ 0 y y = 2 (x) 且在D上连续时, 若D为 X - 型区域

O a y = (x)b x 1 2 ( x) b f (x, y) dy 则 ∫∫ f (x, y) dx dy = ∫ d x ∫ 1 ( x) D a y x =ψ2 ( y) d ψ 1( y) ≤ x ≤ψ2 ( y) 若D为Y - 型区域 D : y c≤ y≤d c ψ 2 ( y) d 则 f (x, y) dx O =ψ ( y) x d y∫ ∫ xc

1(x) ≤ y ≤ 2 (x) D: a ≤ x ≤b

D

x

ψ 1( y)

1

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说明: 说明 (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 , 则有

∫∫Db a d

f (x, y) dx dy 2 ( x)1

y

d

y = 2 (x)x =ψ2 ( y)

= ∫ d x ∫ ( x) f (x, y) dy = ∫ d y∫c

x =ψ1( y)

ψ 2 ( y)

ψ 1( y) y)

f (x, y) dx

D y y = 1(x) c O a x bx

为计算方便,可选择积分序 必要时还可以交换积分序 选择积分序, 交换积分序. 选择积分序 交换积分序 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y X - 型域或Y - 型域 , 则

D22 3

D 1D3

∫∫D = ∫∫D + ∫∫D + ∫∫D1

O目录 上页 下页 返回

x结束

例1. 计算 I = ∫∫ xydσ , 其中D 是直线 y=1, x=2, 及D

y=x 所围的闭区域.

1 ≤ y ≤ x 解法1. 解法 将D看作X - 型区域, 则 D : 1 ≤ x ≤ 2 y 2 x 2 y=x 2 1 xy2 ] x d x I = ∫ d x∫ xyd y = ∫1 [ 2 y 1 1 1 1 2 1 x3 1 x ]dx = 9 =∫ [ 2 2 1 O 1 x2x 8 y ≤ x ≤ 2 解法2. 解法 将D看作Y - 型区域, 则 D : 1≤ y ≤ 2 2 2 2 2 1 y3 dy 9 1 x2 y ] 2 y = I = ∫ d y∫ xyd x = ∫ [ d ∫ 2y 2 = 2 1 1 y 1 y 8

[

]

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例2. 计算

∫∫D xydσ , 其中D 是抛物线2

及直线

y 2 y2 = x 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, y所围成的闭区域. 则

y ≤ x ≤ y+2 D: 1 ≤ y ≤ 2

O 1

D

4 x

∴ ∫∫ xydσ = ∫ dy∫=∫2 1 2 y+2 x y 2 dy 2 y 1

2

y+22

y = x 2

[

D

]

1

y

xy d x

1 2 = ∫ [ y( y + 2)2 y5 ] dy 2 1交换积分顺序

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sin x dxdy, 其中D 是直线 例3. 计算 ∫∫D x 所围成的闭区域. y y=x 解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, D x=π 因此取D 为X - 型域 : π x O 0≤ y ≤ x D: 0≤ x≤ π π sin x x sin x ∴ ∫∫ dxdy = ∫ dx ∫ dy D x 0 x 0

= ∫ sin x dx0

π

=2

说明: 说明 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.目录 上页 下页 返回 结束

例4. 交换下列积分顺序

I = ∫ dx∫0

2

x2 2 0

f (x, y)dy +∫

2 2

2

dx∫

8 x2

0

f (x, y)dy

解: 积分域由两部分组成:

yx2 + y 2 = 8

0 ≤ y ≤ 8 x2 0 ≤ y ≤ 1 x2 2 , D : D2 : 2 1 2 ≤ x ≤ 2 2 y = 1 x2 0≤ x≤2 2 D1 D2 将D = D +

D2 视为Y - 型区域 , 则 1 O 22 2 y ≤ x ≤ 8 y2 D: 0≤ y ≤2 2

2

x

I = ∫∫ f (x, y) d x d y = ∫ dy ∫D

2

8 y

0

2y

f (x, y)dx目录 上页 下页 返回 结束

例5. 计算

其中D 由2

y = 4 x2 , y = 3x , x = 1 所围成.解: 令 f (x, y) = x ln(y + 1+ y )

4y = 3x

y

y = 4 x2

D = D U D2 (如图所示) 1显然, 在D 上, f ( x, y) = f (x, y) 1

D 1

在D2上, f (x, y) = f (x, y)∴ I = ∫∫ x ln(y + 1+ y2 )dxdyD 1

O

D2

1

x

x =1

+ ∫∫

D2

x ln(y + 1+ y2 )dxdy = 0目录 上页 下页 返回 结束

复习极坐标，与几何意义 x = r cosθ , y = r sin θ r = x2 + y2 y , tan θ = x

x = C, y = C, r = C,θ = C几何意义

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用极坐标方程组表示下列图形

练习

x + y ≤R2 2 2 2

2 2

全平面， x 轴上方， y 轴右方x + (y a ) ≤ a2 2

x + y ≤ R , 直线 y = x 的下方

(x a ) + 2 (x a ) +2

y ≤a2

2

2

y ≤ a , 与 x + y ≤ a , 所围2 2 2 2 2

r 2 = cos 2θ , 所围内部r = a (1 + cos θ ) 所围内部目录 上页 下页 返回 结束

在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 θ =常数, 分划区域D 为 σ

二、利用极坐标计算二重积分r + r

O则除包含边界点的小区域外,小区域的面积1 2 2

r

θ + θ θ σx

σ = (r + r) θ r θ ≈ r r θ1 2 2

dσ = rdrdθ在 σ 内取点 (r,θ ) 对应有

r θ θ

r

O

r

x = r cosθ , y = r sin θ目录 上页 下页 返回 结束

lim ∑ f ( x, y) σ = lim ∑ f ( r cosθ , r sin θ )r r θλ→0λ→0

即

∫∫D f (x, y) dσ

= ∫∫ f (r cosθ , r sin θ )rdrdθD

rdθ dσ dr dθ r O

绿色面积元素 = r dr dθ目录 上页 下页 返回 结束

1(θ ) ≤ r ≤ 2 (θ ) 设 D: , 则 α ≤θ ≤ β

r = 2 (θ )

Dβ

∫∫D f (r cosθ , r sinθ )r d r dθ= ∫ dθ ∫ (θ ) 1 αβ

2 (θ )

O f (r cosθ , r sinθ )r d r

α

r = 1(θ )

x

Dβ

r = 2 (θ ) r = 1(θ )

0 ≤ r ≤ (θ ) 特别, 特别 对 D : 0 ≤θ ≤ 2π

O

α

∫∫D f (r cosθ , r sinθ ) r d r dθ=∫2π 0

x r = (θ )D

dθ ∫

(θ )

0

f (r cosθ , r sinθ ) r d r目录

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x

结束

此时若 f ≡1 则可求得D 的面积 1 2π 2 σ= dσ = ∫ (θ ) dθ D 2 0

r = (θ )D

∫∫

O

x

思考: 思考 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 问 θ 的变化范围是什么? (1) 补圆

y

r = (θ )

(2) y

r = (θ )

DO

D

x

x O 答: (1) 0 ≤ θ ≤ π;

π π (2) ≤ θ ≤ 2 2目录 上页 下页 返回 结束

例6. 计算

其中D : x2 + y2 ≤ a2.

0≤r ≤a 解: 在极坐标系下 D : ,故 0 ≤ θ ≤ 2 π原式 =

∫∫D

r dr dθ = ∫ dθ0

2π

∫0 re a 2

a

r 2

dr

= π (1 e由于 e x2

)

的原函数不是初等函数 , 故本

题无法用直角 补广义二重积分，a无穷大目录 上页 下页 返回 结束

坐标计算.

注: 利用上题可得一个在概率论与数理统计及 …… 此处隐藏：2217字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……