2010年高考压轴题数学跟踪演练系列六

高考数学

高考数学

备战2010高考数学――压轴题跟踪演练系列六

1．（本小题满分14分）

如图，设抛物线C:y x2的焦点为F，动点P在直线l:x y 2 0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.

2解：（1）设切点A、B坐标分别为(x,x0)和(x1,x12)((x1 x0)，

2

∴切线AP的方程为：2x0x y x0 0;

2 切线BP的方程为：2x1x y x1 0;

解得P点的坐标为：xP

x0 x1

,yP x0x1 2

x0 x1 xP

xP，

3

2

所以△APB的重心G的坐标为 xG

2

y0 y1 yPx0 x12 x0x1(x0 x1)2 x0x14xP yp

yG ,

3333

所以yp 3yG 4xG，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

2

1

x ( 3y 4x2) 2 0,即y (4x2 x 2).

3

（2）方法1：因为 (x0,x0 ), (

由于P点在抛物线外，则|| 0.

2

14x0 x1112

,x0x1 ), (x1,x1 ). 244

x0 x11112

x0 (x0x1 )(x0 )x0x1

∴cos AFP

x0 x11112

x1 (x0x1 )(x1 )x0x1

同理有cos BFP

高考数学

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当x1x0 0时,由于x1 x0,不妨设x0 0,则y0 0,所以P点坐标为(

x1

,0)，则P点到2

直线AF的距离为：d1

2

即(x1 )x x1y

|x1|1

;而直线BF的方程:y 24

x12 x1

1

x,

141

x1 0. 4

x1x1|x|

|(x12 )1 1|(x12 )1

|x1| 所以P点到直线BF的距离为：d2

1221222x (x1 ) (x1)1

44

所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.

1

1(x 0),即(x2 1)x xy 1x 0, ②当x1x0 0时，直线AF的方程：y 0004x0 044

2

x0

1

14(x 0),即(x2 1)x xy 1x 0, 直线BF的方程：y 1114x1 044

x12

所以P点到直线AF的距离为：

x x11x x111222

|(x0 )(0) x0x1 x0||0)(x0 )

|x0 x1|，d1 同理可得到P点到直线

122122x0 (x0 )2 x0

44

BF的距离d2

|x1 x0|

，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB. 2

2．（本小题满分12分）

设A、B是椭圆3x2 y2 上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与

椭圆相交于C、D两点.

（Ⅰ）确定 的取值范围，并求直线AB的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的 ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）

本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力. （Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为y k(x 1) 3,代入3x y ，整理得

2

2

(k2 3)x2 2k(k 3)x (k 3)2 0. ①

高考数学

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个不同的根， ∴ 4[ (k2 3) 3(k 3)2] 0, ② 且x1 x2

2k(k 3)

,由N（1，3）是线段AB的中点，得

k2 3

x1 x2

1,2

k(k 3) k2 3.

解得k=－1，代入②得， 12,即 的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB的方程为y 3 (x 1),即x y 4 0. 解法2：设A(x1,y1),B(x2,y2),则有

22 3x1 y1

(x1 x2)(x1 x2) (y1 y2)(y1 y2) 0. 2

2

3x2 y2

依题意，x1 x2, kAB

3(x1 x2)

.

y1 y2

∵N（1，3）是AB的中点， ∴x1 x2 2,y1 y2 6,从而kAB 1. 又由N（1，3）在椭圆内，∴ 3 12 32 12, ∴ 的取值范围是（12，+∞）.

直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0.

（Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，

2

代入椭圆方程，整理得 4x 4x 4 0.

又设C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中点为C(x0,y0),则x3,x4是方程③的两根， ∴x3 x4 1,且x0

11313(x3 x4) ,y0 x0 2 ,即M( ,). 22222

于是由弦长公式可得 |CD| ( ) |x3 x4|

1

k

2

2( 3). ④

2

将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得4x 8x 16 0 ⑤

2

同理可得 |AB| k |x1 x2|

2( 12). ⑥

∵当 12时，2( 3) 2( 12), |AB| |CD|

假设存在 >12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.

高考数学

13| 4|

|x y0 4|32

. ⑦ 点M到直线AB的距离为 d 0

222

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

AB29 12 3CD2

| ||. 22222

|CD|

故当 >12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.

2|MA|2 |MB|2 d2 |

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）

A、B、C、D共圆 △ACD为直角三角形，A为直角 |AN|2=|CN|·|DN|，

|AB|2|CD||CD|

) ( d)( d). ⑧ 222

12

, 由⑥式知，⑧式左边 2

即 (

由④和⑦知，⑧式右边 (

2( 3)22( 3)32 39 12

)( ) , 2222222

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆. 解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,

∵CD垂直平分AB， ∴直线CD方程为y 3 x 1，代入椭圆方程，整理得

4x2 4x 4 0. ③

将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得

4x2 8x 16 0. ⑤

解③和⑤式可得 x1,2

2 12 1 3

,x3,4 .

22

不妨设A(1 1 12,3 1 12),C( 1 3,3 3),D( 1 3,3 3)

222222∴ (

3 12 33 3 12

,)

22

(

3 12 33 3 12

,)

22

计算可得 0，∴A在以CD为直径的圆上. 又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC⊥AD） 3．（本小题满分14分）

高考数学

已知不等式

1111

[log2n],其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大23n2

nan 1

,n 2,3,4,

n an 1

整数. 设数列{an}的各项为正，且满足a1 b(b 0),an

（Ⅰ）证明an

2b

,n 3,4,5,

2 b[log2n]

（Ⅱ）猜测数列{an}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n N时，对任意b>0，都有an 本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （Ⅰ）证法1：∵当n 2时,0 an

1

. 5

nan 11n an 111

, ,

n an 1annan 1an 1n

即

111

, anan 1n

111111111 , , , . a2a12a3a23anan 1n

11111

. ana123n

111

[log2n]. ana12

于是有

所有不等式两边相加可得

由已知不等式知，当n≥3时有，

∵a1 b,

2 b[log2n]111

[log2n] .anb22b

an

2b

.

2 b[log2n]

证法2：设f(n)

111

，首先利用数学归纳法证不等式 23n

an

b

,n 3,4,5, .

1 f(n)b

（i）当n=3时， 由 …… 此处隐藏：4799字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……