用分析法证明不等式·教案

不等式的解法

用分析法证明不等式·教案 北京五十五中 韩亦军

教学目标

通过教学，学生掌握和应用分析法证明不等式． 教学重点和难点

理解分析法的证题格式并能熟练应用． 教学过程设计

师：我们已经学习了综合法证明不等式．综合法是从已知条件入手去探明解题途径，概括地说，就是“从已知，看已知，逐步推向未知”．

综合法的思路如下：（从上往下看） （用投影片）

师：其中，A表示已知条件，由A可以得到它的许多性质，如B，B1，B2，而由B又可以得到C，由B1还可以得到C1，C2，由B2又可以得到C3， ，而到达结D的只有C，于是我们便找到了A→B→C→D这条通路．当然，有时也可以有其他的途径达到D，比如A→B1→C1→D等．

但是有许多不等式的证明题，已知条件很隐蔽，使用综合法证明有一定困难．

不等式的解法

这一命题若用综合法证明就不知应从何处下手，今天我们介绍用分析法证明不等式，来解决这个问题．

（复习了旧知识，并指出单一用综合法证明的不足之处，说明了学习分析法的必要性）

分析法是从结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到和已知条件沟通为止，从而找出解题途径．概括地说，就是“从未知，看需知，逐步靠拢已知”．

分析法的思路如下：（从下往上看） （用投影片）

师：欲使结论D成立，可能有C，C1，C2三条途径，而欲使C成立，又有B这条途径，欲使C1成立，又有B1这条途径，欲使C2成立，又有B2，B3两条途径，在B，B1，B2，B3中，只有B可以从A得到，于是便找到了A→B→C→D这条解题途径．

（对比综合法叙述分析法及其思路，便于学生深刻理解分析法的实质及其与综合法的关系）

师：用分析法论证“若A到B”这个命题的模式是： （用投影片） 欲证命题B为真， 只需证命题B1为真，

不等式的解法

只需证命题B2为真，

只需证命题A为真， 今已知A真， 故B必真．

师：在运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途径．

下面举例说明如何用分析法证明不等式．首先解决刚才提出的问题．（板书）

（此题以教师讲解，板书为主，主要讲清证题格式） 师：请看投影，这个题还有一种证法． （投影片）

不等式的解法

师：这种证法是综合法．可以看出，综合法有时正好是分析过程的逆推．证法2虽然用综合法表述，但若不先用分析法思索，显然用综合法时无从入手，有时综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上，分析法的优越性正体现在此．

师：若此题改为

下面的证法是否有错？ （投影片）

①

②

③

不等式的解法

④

⑤

⑥

⑦

因为63＜64成立，

⑧

⑨

（学生自由讨论后，请一位同学回答）

生：我认为第②步到⑦步有错，不等式①两边都是负的，不能平方． 师：这位同学找到了证明过程中的错误，但错误原因叙述得不够准确．这种证法错在违背了不等式的性质．

若a＞b＞0，则a2＞b2；若0＜a＜b，则a2＞b2．

不等式的解法

（不失时机地联系旧知识，在以新代旧的过程中，数学知识可以不断得到深化，学生的思维能力可以得到提高）

师：下面看第二个例题．（板书）

（学生推证，教师巡视，请一学生口答）

因为c＞1，

即证-1＜0，

因为-1＜0显然成立，

师：以上两个例题充分显示了分析法的优越性．

不等式的解法

师：这个题目我们曾经用比较法进行过证明，请同学们考虑用分析法如何证明？

（学生讨论，请一学生回答）

生：因为b＞0，所以b＋1＞0，去分母，化为a（b＋1）＜b（a＋1），就是a＜b，这个式子就是已知条件，所以求证的不等式成立．

（学生理解了分析法的原理，应予以肯定，但这个回答不能作为证明过程，学生往往忽略分析法证明的格式，要及时纠正）

师：这位同学“执果索因”，逐步逆找结论成立的充分条件，直至找到明显成立的不等式为止．很明显，逆找的过程正是把“欲证”由繁化简的过程，因而分析法对于形式复杂的证明题是一种行之有效的方法．

但是作为证明过程，这位同学的回答不符合要求．应该如何证明呢？ （请一位同学板书）

因为b＞0，b＋1＞0，

故只需证a（b＋1）＜b（a＋1）， 即证ab＋a＜ab＋b， 即证a＜b，

师：如果将这个题变化为

不等式的解法

其证明方法与例3相同．此题表明：分子、分母都是正的真分数，分子、分母同加上正数m，分数值变大——但不超过1，这是分数的

何？

（讲完一个例题后，将例题引伸是教学中常做的一件事，它可以使学生的认识得到“升华”，发展学生的思维，并起到触类旁通，举一反三的效果）

例4 已知：a，b∈R＋，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b＋ab2． 生甲：我用求差比较法可以证明． （学生口答，教师板书简单过程） 证法1：（a3＋b3）-（a2b＋ab2） =（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a＋b） =（a＋b）（a2-2ab＋b2） =（a＋b）（a-b）2．

由a，b∈R＋，知a＋b＞0，又a≠b，则（a-b）2＞0，进而（a＋b）（a-b）2

＞0，即（a3＋b3）-（a2b＋ab2）＞0，所以a3＋b3＞a2b-ab2．

生乙：我是用分析法证明的． 证法2：

欲证a3＋b3＞a2b＋ab2，

即证（a＋b）（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b）， 因为a＋b＞0，

故只需证a2-ab＋b2＞ab， 即证a2-2ab＋b2＞0，

不等式的解法

即证（a-b）2＞0， 因为a≠b，

所以（a-b）2＞0成立， 所以a3＋b3＞a2b＋ab2成立． 生丙：那我可以用综合法证明． 证法3：

由a≠b，知（a-b）2＞0，即a2-2ab＋b2＞0，则a2-ab＋b2＞ab，又a＋b＞0，则（a＋b）·（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），即a3＋b3＞a2b＋ab2． 师：以上三位同学熟练地应用学过的证明方法，对同一命题用三种方法进行了证明，开阔了思路．同学们应学会针对具体题目，灵活地选取方法． （分析法和综合法是对立统一的两个方法，对同一命题分别用这两种方法证明，便于对比，在教学中，应着眼于培养学生的能力，使学生能针对具体问题，进行具体分析，灵活地运用各种证法）

例5 若a，b，c是不全相等的正数，

（师生共同进行分析） 证明：

不等式的解法

且上述三式中的等号不全成立，所以

师：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法，

意箭头的方向． 课堂练习：（投影片）

3．若a，b∈R＋，求证：a5＋b5＞a3b2＋a2b3．

（第3题是例4的推广．所谓推广，就是把真命题放在更广的范围内考查，因而是一种创造性的思维活动．要想做出推广，认清式子的“结构特征”是突破口．就例4中的a3＋b3＞a2b＋ab2而言，不等号两边都是二元的三次齐次式，推广至少有两个方向：（i）次数能否提高？（ii）“元”能否增多？对学有余力的同学不妨试试看）

（请同学做以上三个练习，巩固本节 …… 此处隐藏：1945字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……