湖北汽车工业学院线性代数答案 03 克莱姆法则·综合练习(

湖北汽车工业学院线性代数习题答案答案

3 克莱姆法则·综合练习（第一章）

x1 x2 x3 x4 x 2x x 4x 1234

一、 用克莱姆法则解方程组

2x1 3x2 x3 5x4 3x1 x2 2x3 11x4

解:系数行列式为

5 2

2 0

11112 1D

2 3 1312511 22 1

且 D1

2 3 101211512 2

D3

2 3 2310

故原方程组的解为

1r2 r11111

1 23

4r3 2r101 23

5 3 7 142

5r4 0 5 3 7 3r1

2 18

110 2 181151141 2 14

142 D2 284

52 2 1 5113021111115412 1 2

426 D4 142

52 3 1 2113120

x1

DD1DD

1 x2 2 2 x3 3 3 x4 4 1 DDDD

2x2 4x3 0 (1 )x1

2x1 (3 )x2 x3 0 有非零解？ 二、 当 取何值时，齐次方程组 x1 x2 (1 )x3 0

解: 要使得题设方程组有非零解, 只需其系数行列式为零. 即

D

解得

24

21

3 1 3 5 2 6 0 11

1 0 , 2 2 , 3 3.

综上述,故当 0 , 2 , 3时原方程组有非零解.

5

湖北汽车工业学院线性代数习题答案答案

证明: (1) 当n 1时,显然有 D1 cos . 原式成立. (2) 假设当n k 1时原式成立,即有 Dk 1 cos(k 1) . (3) 下面证明当n k时原式成立. 将Dk按照第k行展开,有

Dk 2cos Dk 1 Dk 2 2cos cos(k 1) cos(k 2)

cosk cos(k 2) cos(k 2) cosk

由数学归纳法,原式得证!

x

10 00

x 1 00

四、证明

xn a1xn 1 an 1x an 0

00

x

1an

an 1

an 2 a2

x a1

证明: (用归纳法)

(1) 当n 2时,有 D 121

xa2

x ax a2.即原式成立.

1x a

x a1(2) 假设当n k时原式成立.

(3) 下面证明当n k 1时原式成立. 将Dk 1按照第1列展开,有

x

10 00 100 0x 1 00x 1

0

D 2k 1

x

( 1)kak 1 000

x

1000 ak

ak 1

ak 2 a2

x a1

k k0

0

xDk

k

k

k 1

k ( 1)ak 1( 1) x(x a1x ak 1x ak) ak 1

xk 1 ak1x a2k 1x akx ak 1 即当n k 1时原式成立.由数学归纳法,原式得证!

6

000

10

x 1k k