拉格朗日中值定理在学术研究中的应用

拉格朗日中值定理在学术研究中的应用刘子建(重庆交通大学理学院，重庆摘要：本文介绍了拉格朗日中值定理在一般泛函微分方程和生物数学中的两个重要应用 . 关键词：拉格朗日中值定理泛函微分方程生物数学应用

4 0 0 0 7 4 )

i『 n ( u 0 ( u, v ) _ u 0( u , v )+ u 0 - ( u。, v ) _ u 。 ( u , v )+ u _( u , V 1 )一u‘ l u l, v I ) ) xu— u。 )￡+。 ( u。, v。 ) ) d xU - U 1 )‘+ ( v— v 1 )‘ ) d x ≤ m 3 ( ( N— O f_,

1 .引言

拉格朗日中值定理是微分学中最重要的几个定理之一， 又称为微分中值定理.它是沟通函数与其导数的桥梁，是应用导数局部性研究函数整体性的重要工具 .拉格朗日中值定理在众多方面都有巧妙的应用… _『 3] .下面我们首先给出拉格朗 1 3 中值定理的具体内容，然后给出其在一般泛函微分方程和生物数学中的两个重要应用 . 拉格朗 1 3中值定理叙述如下[ 4 3: 如果函数f ( x )满足： ( 1 )在闭区间[ a, b]上连续； ( 2 )在开区间( a, b )内可导，那么在( a, b )内至少有一点《 ( a<∈< b ),使等式 f ( b )一 f ( a )= f (∈ ) ( b— a ) ( 1 ) 如 睥一● 一成立.、

1 ) z+ ( N ) ) L( ( — ) 2+ ( . ) ) d x0 v … ‘ ‘ 。

u . V E A X E a≤u…

0 v

睥l U 是 k 3≤

A- x∈n

( N

0 u

0 v

J

) I J ( f j+。 ),J”

这里L ( + ) _ J ( ( u ( t j+。 - u I ( +。 ) ) + ( v ( t j+。- v I ( t j+。 ) ) ) d x, A为U, v的范围， N为U, v的最大值 .同理有

v g j+ l ( u ' v ) - v l g j+ t ( u l, v I ) 一

3 ( ( N

) +

2 .主要内容

+

U

U

下面我们将给出两个例子来说明拉格朗日中值定理在学术研究中的应用 .

‰ 2 . 1在一般泛函微分方程中的应用考虑标量泛函微分方程=

( N掣) 2 2 ) )结合上述两式我们有L C t...

—L.

, L

+ 0 )≤m≤ a ( x E n 3 ( ( N’ ) + ( N’ 2 2+ ( N 孥’ ) +

it f, x ( t— h ) ), t≥t 0, h> 0

( 2)

d t

( N掣) + ( N ) 2+ g i 2+ l ) )=

的稳定性 .可以将( 2 )式变形为：J=

Kj L ( t i+ 1 ) +l

f ( t, x ( t ) )一[ f ( t, x ( t ) )一 f ( t, x ( t— h ) )]

d t

利用拉格朗日中值定理，可以将上述方程化简为：J.,UX

这样就找出了脉冲前后所构造的辅助函数的关系，结合 K所满足的条件，就可以给出系统周期解的全局渐近稳定性 .3 .结语

_

=

it f, x ( t ) )一 f x ( t,《 ( t ) )[ x ( t ) - x ( t— h )]

( 3 )

dt

其中∈ ( t )是介于x ( t )与x ( t— h )之间的函数， f ( x )表示 f ( t, X ) 关于X的导数 .下面我们讨论 ( 3 )式的稳定性 . 考虑系统j ,=一

本文介绍了拉格朗日中值定理在一般泛函微分方程和生物数学研究中的两个重要应用，相信它在其他研究领域也有重要的应用，这需要我们共同去发现，去总结.尽量做到将大学所学知识与科学研究和应用紧密结合。学以致用 . 参考文献： [ 1]姜文彪，赵淑莹.对拉格朗日中值定理应用的一点研究[ J] .煤炭技术， 2 0 0 8 ( 2 7 ) ( 2 ) . [ 2]王康.拉格朗日中值定理的应用[ J] .安顺学院学报，2 01 2( 1 4) ( 2 ) .

( t,∈ ( t ) )[ x ( t )一 x ( t— h )]

( 4 )

d t

由文献[ 5] q￣ 2 1 0页的例子1 4可知，系统( 4 )在4 h s u p I≥^ ( t,§ ( t ) )园时是渐近稳定的.将f ( t, x ( t ) )看做扰动项，若给条件f ( t, X ( t ) )≤B

( t ) x ( t )且. r: l B ( t ) I d t< w,则( 4 )式和( 3 )式具有

一样的稳定性.

这样。我们就得到了依赖函数导数的稳定性条件，如果不应

『 3 1崔瑞霞.拉格朗日中值定理在分析证明不等式中的应

用拉格朗日中值定理，则系统 ( 2 )很难处理.2 . 2在生物数学研究中的应用 在文献[ 5]中，作者研究具有脉冲影响的偏微扩散系统， 在讨论系统周期解的全局渐近稳定性时，应用微分中值定理估计了一个关键的不等式 .上下文请参见文献[ 5],这里给出 不等式估计过程 .针对目标式

用[ J] .高等函授学报， 2 0 1 0 ( 2 3 ) ( 1 ) . 『 4]同济大学应用数学系.高等数学(上册) (第六版 )[ M] . 高等教育出版社， 2 0 0 7 .『 5] V. Ko l ma n o v s k i i, A. My s h k i s, I n t r o d u c t i o n t o t h e T h e o r y

a n d A p p l i c a t i o n s o f F u n c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s[ M] . K l u w e rAc a d e mi c P u b l i s h e r s, 1 9 9 9 .

『 6 1廖晓昕.稳定性的理论、方法和应用[ M] .华中科技大学出版社。 2 0 1 0 . 『 7] M. U. Ak h me t, M. B e k l i o g l u, T. Er g e n c, V. I . T k a c h e n k o, Ani mp u l s i v e r a t i o— d e p e n d e n t p r e d a t o r- p r e y s y s t e m wi t h d i f f u s i o n

L ( t j+ l+ 0 )= - f n ( u f i+ l ( u, V )一 u 1‘+ l ( u l, V 1 ) )‘ d x+ .『 n ( V g 1 ( u, V )一

v . g ( U 1￣ V I ) )‘ d x,

应用中值定理处理等式右端第一项，我们有

[ J] . N o n l i n e a r A n a l y s i s: R e a l Wo r l d A p p l i c a t i o n s, 2 0 0 6 ( 7 ): 1 2 5 5—1 2 6 7 .

J’ n ( u‘+ l ( u, V )一 u l c+ 1 ( u 1, V 1 ) ) d x