8章 线性系统的状态空间分析法

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第8章 线性系统的状态空间分析法 重点：1. 建立连续系统状态表达式及其求解方法 2. 连续系统状态空间法的三种规范型 3. 判断连续系统的能控性与能观性 4. 建立离散系统状态表达式及其求解方法 5. 用秩判据判断离散系统的能控性与能观性

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8.1 状态空间基本概念1.状态表征动力学系统的过去、现在和将 来运动状况的信息。 指足以完全表征系统时域状态的最 小一组变量。n阶系统有n个独立的 状态变量。 将一个n阶系统的状态变量组成一个 向量： x(t ) { x1 ( t ), x2 ( t ), , xn ( t )}

2.状态变量

3.状态向量

!

状态变量的选取不唯一，不一定在物理上可测 量，但实用时选取易测量的量作为状态变量， 以便实现状态反馈和改善系统性能的要求。

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4. 状态空间 以状态变量 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t )为坐标轴所构成的n维 空间。状态空间中的每一点都代表了状态变量的唯一 特定的一组值。状态随时间的变化过程，则构成了状 态空间中的一条轨迹(状态轨迹)。 由状态变量的一阶导数与状态变 量、输入量所构成的方程 。反映 了输入与状态变量间的关系。

5. 状态方程

! n阶系统的状态方程由n个联立的一阶微分或差分方程组成。状态方程也具有非唯一性。对一具体系统，状 态方程多种形式之间存在着某种线性变换关系。

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例 单输入n阶线性定常连续系统的状态方程一般形式为 x1 (t ) a11x1 (t ) a12 x2 (t ) a1n xn (t ) b1u (t ) x (t ) a x (t ) a x (t ) a x (t ) b u (t ) 2 21 1 22 2 2n n 2 xn (t ) an1 x1 (t ) an 2 x2 (t ) ann xn (t ) bnu (t ) 输入

其向量-矩阵形式为 x( t ) Ax( t ) bu( t ) a11 x1 x1 x 2 , x x2 , A a21 x x a n xn n1状态变量(列向量) 系统矩阵

(8 3)

a12 a1n b1 a22 a2 n b2 , b b an 2 ann n 输入矩阵(列向量)

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6. 输出方程 如上例中有

由系统输出量与状态变量、 输入量所构成的方程。

y(t ) c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) du(t ) (8 4)其向量-矩阵形式为前向传 递系数

y( t ) cx( t ) du( t )输出

(8 5)

式中

c [c1 c2 cn ]输出矩阵

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7. 状态空间表达式(动态方程)

状态方程和输出方程的组合， 构成了对系统动态特性的完整 描述。揭示了系统内部状态对 系统性能的影响。

对于单输入-单输出系统：

x A x b u y c x d u输出(标量) 标量

输入(标量)

用状态变量方框图表示

d=0

u!

b

x

∫A

x

单线表示单变量信 号流向，双线表示 向量信号流向。

+

C

y

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对于r个输入-m个输出系统：

x A x B u y C x D u向量向量

式中

u1 u2 u , u r c11 c21 C c m1

y1 y2 y , y m

b11 b21 B b n1

b12 b1r b22 b2 r bn 2 bnr d1r d 2r d mr

c12 c1n c22 c2 n , cmq 2 cmn

d11 d12 d 21 d 22 D d m1 d m 2

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用状态变量方框图表示D

B

+

∫A

C

+

+

! 向量、矩阵的运算顺序不许任意颠倒 结 论状态空间法既表征了输入对系统内部状态的因果 关系，又反映了内部状态对外部输出的影响，所 以状态空间表达式是对系统的一种完全描述。

+

+

u

x

x

+

y

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8. 状态空间表达式模拟结构图 在状态空间法中，一般用模拟结构图来表示系统各状态 变量之间的信息传递关系。它为系统提供了一种物理图 形，便于计算机模拟。它由积分器、加法器和比例器三 种元件组成。 系统的阶数等于积分器的个数，取 原则 每个积分器的输出为状态变量。下面以单输入单输出系统为例来说明绘制方法 (1) 由微分方程绘模拟结构图

例

a2 a1x a0 x bu x x a2 a1x a0 x bu x x

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u

b

×

x

∫a2

x

∫

x

∫

x

- - -

a1a0(2)由方框图绘模拟结构图

例

1 s a

u(t )

+

×

-

∫ a

y(t )

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(3) 由状态空间表达式绘模拟结构图

例

x1 ( t ) x 2 x2 ( t ) x3 x 3 ( t ) 4 x1 5 x 2 3 x 3 2u y x1 x 3

u

2

×

x3

∫-3

x2

∫

x1

∫

×

y说明

- - -

-5 -4

多输入多输出系 统的模拟结构图 绘制方法相同。

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8.2 建立状态空间表达式的方法8.2.1 建立单输入单输出系统的状态空间表达式1. 由实际系统所遵循的规律建立状态空间表达式 先根据系统的物理或化学等特性，写出系统的运动方程 式，再选取适当的状态变量，把运动方程化为关于状态

变量的一阶微分方程，从而建立起状态空间表达式。输入 输出

L

R C uc (t) i (t) A

例

u(t)

º + i (t)L

解(1)建立系统微分方程

iC(t)

º

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由电路定律得

d iL L dt uC u duC uC iL C R dt uC i R

uC u d iL dt L L duC i L uC C RC dt u i C R

(2) 确定系统的状态方

程和输出方程 取x1= iL , x2= uC ,y=i,则

1 x x1 0 1 1 L L u x 1 1 x 0 2 2 C RC

y 0

1 x1 R x2

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2. 由微分方程建立状态空间表达式 (1)微分方程右边不含导数项

例

y a1 a2 y a3 y bu y

解 绘制状态变量图 x3 u b×

y

∫

x3 y

∫

x2 y

∫

x1 y

- - -

a1a2 a3

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取状态变量为

x1 x2 x 3

y y x1 x2 y

x1 x2 x2 x3 x a x a x a x bu 3 1 2 2 1 3 3 y

状 态 空 间 表 达 式

x1 0 1 0 x1 0 x2 0 0 1 x2 0 u x a a a x b 2 1 3 3 3 x1 y 1 …… 此处隐藏：1207字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……