高中数学(人教版·必修5)：3.2 一元二次不等式及其解法 第2

第三章不等式

第三章3.2 一元二次不等式及其解法

第2课时 含参数一元二次不等式的解法

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课前自主预习

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课堂典例探究

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课 时 作 业

课前自主预习

一辆汽车总重量为ω,时速为v(km/h),设它从刹车到停车 行走的距离L与ω、v之间的关系式为L=kv2ω(k是常 数).这辆汽车空车以50km/h行驶时，从刹车到停车行进了 10m,求该车载有等于自身重量的货物行驶时，若要求司机 在15m距离内停车，并且允许司机从得到刹车指令到实施刹 车的时间为1s,汽车允许的最大时速是多少？(结果精确到 1km/h)

当a>0时，解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的一元 二次不等式，一般可分三步：(1)确定对应方程________的解. (2)画出对应函数________图象的简图. (3)由图象确定不等式的解集. [答案] (1)ax2+bx+c=0 (2)y=ax2+bx+c

1.含参数的一元二次不等式的解法解答含参数的不等式时，一般需对参数进行讨论，常见的有 以下几种情况： (1)二次项系数含参数时，根据二次不等式化标准形式需要化 二次项系数为正，所以要对参数符号进行讨论. (2)解“Δ”的过程中，若“Δ”表达式含有参数且参数的取 值影响“Δ”符号，这时根据“Δ”符号确定的需要，要对参 数进行讨论.

(3)方程的两根表达式中如果有参数，必须对参数讨论才能确 定根的大小，这时要对参数进行讨论.

总之，参数讨论有三个方面：①二次项系数；②“Δ”;③ 根.但未必在这三个地方都进行讨论，是否讨论要根据需要 而定.

解关于 x 的不等式 56x2+ax-a2<0.[ 解析] 原不等式化为(7x+a)(8x-a)<0,方程(7x+a)(8x

a a -a)=0 的两根为 x1=-7,x2=8, a a ∴a>0 时，解集为{x|-7<x<8};a=0 时，解集为 ;a a a <0 时，解集为{x|8<x<-7}.

2.分式不等式的解法 (1)分式不等式 分母中含有未知数，且分子、分母都是关于 x 的多项式的 不等式称为分式不等式. (2)等价转化法解分式不等式 解分式不等式的基本方法是将其转化为与之同解的整式不 等式(组).具体情况见下表：

分式不等式 f x >0 g x f x <0 g x f x ≥0 g x f x ≤0 g x

同解变形 1 f x >0 g x >0 f x >0 g x <0 f x ≥0 g x >0 f x ≥0 g x <0 f x <0 ,或 g x <0 f x <0 ,或 f x >0 f x ≤0 ,或 g x <0 f x ≤0 ,或 g x >0

同解变形 2 . . . . f(x)g(x)>0 f(x)g(x)<0 f x g x ≥0 g x ≠0 f x g x ≤0 g

x ≠0

分式不等式 f x >a g x

同解变形 1 f x >ag x g x >0

同解变形 2 f x -ag x >0 g x

, .

f x <ag x 或 g x <0 f x >ag x g x <0

f x <a g x

, .

f x <ag x 或 g x >0

f x -ag x <0 g x

解下列不等式： 4-x ≤0; 2x+3 4-x x-4 [ 解析] ≤0 ≥0. 2x+3 2x+3 x-4 2x+3 ≥0 2x+3≠0

3 {x|x≥4 或 x<-2}.

3 ∴原不等式的解集为{x|x<-2或 x≥4}.

3.简单的高次不等式的解法 (1)高次不等式 不等式最高次项的次数高于 2,这样的不等式称为高次不 等式. (2)穿根法解高次不等式的步骤 ①将 f(x)最高次项系数化为正数； ②将 f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的 积；

③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向 左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过， 奇次方根既穿又过); ④观察曲线显现出的 f(x)的值的符号变化规律，写出不等 式的解集.

解不等式：(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)≤0.[ 解析] 设 y=(x+2)(x+1)(x-1)(x-2),

则 y=0 的根分别是-2,-1,1,2, 将其分别标在数轴上，并画出如图所示的示意图：

所以原不等式的解集是{x|-2≤x≤-1,或 1≤x≤2}.