2011届高考数学二次函数复习2

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§2.5 二次函数 基础知识 自主学习

要点梳理

1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f（x）= ax2+bx+c(a≠0) . (2)顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0) . (3)零点式：f(x)= a(x-x1)(x-x2) (a≠0) .

求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所

给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式 中的一种来求.

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①已知三个点的坐标时，宜用一般式.

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大

（小）值有关时，常使用顶点式. ③已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时， 选用零点式求f(x)更方便.

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2.二次函数的图象和性质

图象

定 义 域 值 域

函数性质

x∈R（个别题目有限制的，由解 析式确定） a>0 a<0

4ac b 2 y ( , ] 4a

a＞ 0

4ac b 2 y [ , ) 4a

奇 偶 性

b=0时为偶函数，b≠0时既非奇函数 也非偶函数

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a<0

单调 a＜ 性 a>0

b x ( , ]时递减 , 2a x ( , x [ b ]时递增 , 2a

0

b x [ , )时递增 2a

①对称轴 : x

b , )时递减 2a

图象 特点

b ; 2a b 4ac b 2 ②顶点 : ( , ) 2a 4a

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3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当Δ =b2-4ac>0时， 图象与x轴有两个交点M1(x1，0)、M2(x2，0)，

| M1M 2 | | x1 x2 | . |a|

4.三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二 次不等式）. 在高考中三个二次不仅是各种问题转化的最后 的落脚点，而且单纯的三个二次问题间的相互 转化有时技巧性也会很强.

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基础自测

1.函数y=x2+bx+c（x∈［0，+∞））是单调函数的

充要条件是

A.b≥0 C.b＞0 B.b≤0 D.b＜0

（ A ）

b 解析 x 0 2 ∴b≥0.故选A.

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2.方程a2x2+ax-2=0 (|x|≤1)有解，则 A.|a|≥1 C.|a|≤1 B.|a|>2 D.a∈R

（A ）

解析

∵原方程可分解为(ax+2)(ax-1)=0,

∴ax=-2或ax=1,则有|a|≥2或|a|≥1.即|a|≥1.

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3.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标 系中的图象大致是 （C ）

解析

选项A中,一次函数的斜率a>0,而二次函数

开口向下，相互矛盾，排除A.同理排除D,

y=ax2+bx+c的对称轴为x b , 2a b 当a>0,b>0时， x 0, ∴排除B. 2a 当a<0,b<0时，x b 0. 故选C. 2a

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4.若函数f(x)=ax2+bx+c满足f(4)=f(1),那么（ C

A.f(2）>f(3) B.f(3)>f(2) C.f(3)=f(2) D.f(3)与f(2)的大小关系不能确定

）

解析

∵f(4)=f(1),

5 对称轴为x , 2 5 f (3) f (2 3) f (2), 2 ∴选C.

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5.若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,

则f(x)的表达式为（ A.f(x)=-x2-x-1 B.f(x)=-x2+x-1 C.f(x)=x2-x-1 ）

D.f(x)=x2-x+1

解析 方法一 由f(0)=1,可得f(x)=ax2+bx+1 (a≠0)，用排除法可选D.

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方法二

由f(0)=1,可得f(x)=ax2+bx+1 (a≠0),

故f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+1.

∴f(x+1)-f(x)=2ax+a+b, 由已知：f(x+1)-f(x)=2x,即2ax+a+b=2x.

2a 2 a 1 , , f ( x) x 2 x 1. a b

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