高中数学圆的方程典型例题总结归纳(极力推荐)

适合高三学生复习专用,且有一定难度

高中数学圆的方程典型例题

类型一：圆的方程

B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与例1 求过两点A(1,4)、

圆的关系．

分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．

解法一：（待定系数法）

设圆的标准方程为(x a)2 (y b)2 r2．

∵圆心在y 0上，故b 0． ∴圆的方程为(x a)2 y2 r2．

22

(1 a) 16 r

又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点． ∴ 22

(3 a) 4 r

解之得：a 1，r 20．所以所求圆的方程为(x 1)2 y2 20． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）

因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为

2

kAB

4 2

1，故l的斜率为1，又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线l的方程1 3

为：y 3 x 2即x y 1 0．

又知圆心在直线y 0上，故圆心坐标为C( 1,0) ∴半径r AC

(1 1)2 42 20． 故所求圆的方程为(x 1)2 y2 20．

(2 1)2 42 25 r．

又点P(2,4)到圆心C( 1,0)的距离为 d PC

∴点P在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程

4 与圆O相切的切线． 例5 已知圆O：x y 4，求过点P 2，

2

2

4 不在圆O上，∴切线PT的直线方程可设为y k x 2 4 解：∵点P 2，

根据d r ∴

2k 4 k2

2 解得k

3

4

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所以y

3

x 2 4 即 3x 4y 10 0 4

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为x 2．

说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．

本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用x0x y0y r2，求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解．

类型三：弦长、弧问题

例9、直线3x y 23 0截圆x y 4得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距d

2

2

，故弦长AB 2r2 d2 2，从而△OAB是等边三角

形，故截得的劣弧所对的圆心角为 AOB

类型四：直线与圆的位置关系.

3

.

例13 圆(x 3)2 (y 3)2 9上到直线3x 4y 11 0的距离为1的点有几个？

分析：借助图形直观求解．或先求出直线l1、l2的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆(x 3)2 (y 3)2 9的圆心为O1(3,3)，半径r 3． 设圆心O1到直线3x 4y 11 0的距离为d，则d

3 3 4 3 3 4

2

2

2 3．

如图，在圆心O1同侧，与直线3x 4y 11 0平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点，这两个交点符合题意．

又r d 3 2 1．

∴与直线3x 4y 11 0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．

解法二：符合题意的点是平行于直线3x 4y 11 0，且与之距离为1的直线和圆的

交点．设所求直线为3x 4y m 0，则d

m 3 4

2

2

1，

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∴m 11 5，即m 6，或m 16，也即

l1：3x 4y 6 0，或l2：3x 4y 16 0．

设圆O1：(x 3)2 (y 3)2 9的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，则

d1

3 3 4 3 6

3 4

2

2

3，d2

3 3 4 3 16

3 4

2

2

1．

∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．

说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：

设圆心O1到直线3x 4y 11 0的距离为d，则d ∴圆O1到3x 4y 11 0距离为1的点有两个．

显然，上述误解中的d是圆心到直线3x 4y 11 0的距离，d r，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．

到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断． 类型五：圆与圆的位置关系 例15：圆x y 2x 0和圆x y 4y 0的公切线共有

2222

解：∵圆(x 1) y 1的圆心为O1(1,0)，半径r1 1，圆x (y 2) 4的圆心为

2

2

2

2

3 3 4 3 3 4

2

2

2 3．

O2(0, 2)，半径r2 2，∴O1O2 5,r1 r2 3,r2 r1 1.∵r2 r1 O1O2 r1 r2，

∴两圆相交.共有2条公切线。 类型六：圆中的对称问题

例17 自点A 3，3 发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C：x y 4x 4y 7 0相切

（1）求光线l和反射光线所在的直线方程．

（2）光线自A到切点所经过的路程．

分析、略解：观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求出

2

2

3 ，其次设过A 的圆C的切线方程为 点A的对称点A 的坐标为 3，

y k x 3 3

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根据d r，即求出圆C的切线的斜率为 k 进一步求出反射光线所在的直线的方程为

43或k 34

4x 3y 3 0或3x 4y 3 0

最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为

4x 3y 3 0或3x 4y 3 0

光路的距离为A'M，可由勾股定理求得A M

2

A C CM 7．

22

说明：本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解．

类型七：圆中的最值问题

例19 (1)已知圆O1：(x 3)2 (y 4)2 1，P(x,y)为圆O上的动点，求d x2 y2的最大、最小值．

(2)已知圆O2：(x 2)2 y2 1，P(x,y)为圆上任一点．求

y 2

的最大、最小值，求x 1

x 2y的最大、最小值．

分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决． 解：(1)(法1)由圆的标准方程(x 3)2 (y 4)2 1． 可设圆的参数方程为

2

2

x 3 cos ,

（ 是参数）．

y 4 sin ,

2

则d x y 9 6cos cos 16 8sin sin2

4）． 3

26 6cos 8sin 26 10cos( )（其中tan

所以dmax 26 10 36，dmin 26 10 16．

(法2)圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离d1加上半径1，圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离d1减去半径1．

所以d1 32 42 1 6．

'

'

d2 32 42 1 4．

所以dmax 36．dmin 16．

(2) (法1)由(x 2) y 1得圆的参数方程：

2

2

x 2 cos ,

是参数．

y sin ,

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则

y 2sin 2sin 2

t， ．令x 1cos …… 此处隐藏：3805字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……