第三章光纤模式理论

光纤模式理论,运用麦克斯韦方程分析光纤中的模式。。。

第三章 光纤模式理论第一节 阶跃折射率光纤中的场模式

第二节 弱导光纤中的线偏振模第三节 光波导中模式的普遍性质 第四节 波导横向非均匀性的微扰法处理 第五节 纵向非均匀性与模式耦合方程

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第三节 光波导中模式的普遍性质一 模式的完备性和光场展开 二 模式的正交性 三 模式正交性的证明 四 β2的稳定性

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一 模式的完备性和光场展开任意被约束在纵向均匀光波导内沿z方向传播的电磁波均 满足Helmholtz方程： t 2 E (k02n2 2 )E 0,n n (u,v) 波导内各模式的传输常数βm和相应的场分布Em满足： t 2 Em (k02n2 m2 )Em 0,n n (u,v)

完备性 光波导中的模式能完全反映其中的电磁场 任意纵向均匀无损光波导，波导中的电磁场总是可 以表示为波导内沿±z方向所支持的各导模和辐射模 的迭加。 事实上，这也是本征值方程的重要性质。3

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光场展开 光场展开 任意纵向均匀无损光波导，波导中的电磁场总是可以表 示为波导内沿±z方向所支持的各导模和辐射模的迭加。

E(u,v, z ) H(u,v, z )

p p C n E n(u,v)exp jp n z Erad n ,p p p C n H n(u,v)exp jp n z H rad n ,p

各模式的激发系数

n=1,2…不同导模p=+,-正反向传输的模式

辐射模在其连续谱上的积分

如果只研究在光波导内传导的电磁波，则仅需要进行导模的 迭加。否则应包括对辐射模的积分在内 4

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二 模式正交性

m,n 模式序号 q,p 模式传播方向(+,-)p* n

由Maxwell方程可证，任意纵向均匀无损光波导，各模式场分布满足：q e E H E H m ds 4 mn S0 p, q P n z q m p* n S

积分遍及整个波导横截面

mn

1, m n 0, m n

1 Re (Ep H p*) e ds P n n z 2 s n p p* p* p =1 ez (En Hn En Hn )ds 4S(n,p)沿z方向传输的光功率

1, p q S0 p , q 0 , p q 1, p q 物理意义

不同模式之间彼此正交 导模之间、导模与辐射模之间、辐射模之间均正交 正反向传输的同一模式之间也彼此正交

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波导中总的光功率考虑有N个导模在波导中沿+z方向传输的情况，光波导中电磁场 所传导的总功率： 2 1 P n total Re E H ezds Cn P s 2 n

*

N

E CnEnexp j n z n

模式正交性

H Cn Hnexp j n z n

q e E H E H m ds 4 mn S0 p, q P n z q m p* n p* n S

物理意义：波导中总 的光功率等于各个模 式光功率之和

光波导中各模式的场分布均有一个待定积分常数(如E0或H0)针 对所研究的问题，这一常数通过适当选取归一化

条件确定。常用 的归一化条件是： 1 e (Ep H p* Ep* H p)ds=1 n n n 4S z n (1)按“1”归一化 (2)按总功率归一化 1 e (Ep H p* Ep* H p)ds=P n n n 6 4 S z n

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模式正交性的物理含义 在任意纵向均匀无损光波导中，模式是相互独立传输的， 互不影响。光场展开式中各模式展开系数的模表示该模式 所携带的光功率的百分比。波导中总的光功率等于各个模 式光功率之和 在任意纵向均匀无损光波导中，各模式之间不发生能量的 交换和耦合，沿正反方向传输的同一个模式也如此！ 正交性存在于任意两个不同模式之间，例如：正反向传输 的同一模式相互正交；导模与辐射模相互正交；任意两个 具有不同β值的辐射模相互正交。

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线偏振(LP)模的正交性弱导光纤q e E H E H m ds 4 mn S0 p, q P n z q m p* n p* n S

Ht

e z Et 0

q p* Re Etm Etn ds 2 mn S0 p, q P 0 S p n (r, ) AG n r cos n Etn e y np q p* Re m n ds 2 mn S0 p, q P 0 S 若重新选择归一化条件，线 偏振模的正交性也常写为：q p* m n ds mn S

J m Ur a ,r a J U Gm r m K Wr a m ,r a K W m

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内容回顾 完备性 光波导中的模式能完全反映其中的电磁场 光场展开 任意纵向均匀无损光波导，波导中的总电磁场可 以表示为波导所支持的各导模和辐射模的迭加 模式的正交性 在纵向均匀无损光波导中，模式是相互独立传输的 各模式之间不发生能量的交换和耦合 沿正反方向传输的同一个模式也如此！ 波导中总的光功率等于各个模式光功率之和p* n p* n

任意纵向均匀无损光波导q e E H E H m ds 4 mn S0 p, q P n z q m S

弱导光纤

q p* 0 Re m n ds 2 mn S0 p, q P S

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三 模式正交性的证明E r, ,z E r, exp j z exp( j t) E Et e z Ez H r, ,z H r, exp j z exp( j t) H Ht e z H z纵向均匀波导中的任意两个模式：(m,q)&(n,p) = t e z z

Maxwell方程 B E t D H t

q q q t Em jq m ez E m j 0 H m q q q t H m jq m ez H m j E m p p p t En jp n ez E n j 0 H n p p p t H n jp n ez H n j E n

(1) (2) (3) (4)

H ( 1) Eq 4) * m( p H ( 3) En ( 2) *

p* n q* m

A( B C) B( C A)*

Et

p q p p p q t Eq j E q m H n j p n q m e z E m H n m E n 0 H n H m (5) * * * p n

H

q* m

j q

m

p e En z

p n

H

q* m

j E

p n

E

q* m

0H

q* m

H (6)p n

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模式正交性的证明 t E H E Hq m q mp q*

(5) (6) *q p e E H E H m n z m 0 q m p* n p* n

p* n

p* n

j q p

整个波导横截面S积分 二维散度定理q* p S l

Fds F ndlS l

t En Hm Em Hn ds En Hm Em Hn ndlq* q* p

0

S的边界

l的外法线方向

S足够大 边界上的电磁场可忽略

q m p n e z ES

q m

H

p* n

E Hq m ds 0

p* n

m n或 p q

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