2013届高考数学一轮复习讲义：第二章 2.2 函数的定义域、值域及

一轮复习讲义

函数的定义域、值 域及函数的解析式

要点梳理1.函数的定义域

忆一忆知识要点

(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. (2)求定义域的步骤 ①写出使函数式有意义的不等式(组); ②解不等式组； ③写出函数定义域.(注意用区间或集合的形式写出) (3)常见基本初等函数的定义域 ①分式函数中分母不等于零. ②偶次根式函数、被开方式大于或等于 0.

要点梳理

忆一忆知识要点

③一次函数、二次函数的定义域为 R . ④y=ax (a>0 且 a≠1), y=sin x, y=cos x, 定义域均为 R . ⑤y=tan x 的定义域为 2.函数的值域 (1)在函数 y=f(x)中，与自变量 x 的值相对应的 y 的值叫函 数值，函数值的集合叫函数的值域. (2)基本初等函数的值域 ①y=kx+b (k≠0)的值域是 R . π x|x∈R且x≠kπ+ ,k∈Z 2

.

⑥函数 f(x)=x0 的定义域为 {x|x∈R 且 x≠0} .

要点梳理

忆一忆知识要点

②y=ax2+bx+c (a≠0)的值域是：当 a>0 时，值域为 2 4ac-b2 4 ac - b ,+∞ -∞, 4a ; 当 a<0 时， 值域为 4a . k ③y=x (k≠0)的值域是 {y|y∈R 且 y≠0} . ④y=ax (a>0 且 a≠1)的值域是(0,+∞) .

⑤y=logax (a>0 且 a≠1)的值域是 R . ⑥y=sin x,y=cos x 的值域是 [-1,1] . ⑦y=tan x 的值域是 R .

要点梳理3.函数解析式的求法

忆一忆知识要点

(1)换元法：若已知 f(g(x))的表达式，求 f(x)的解析式，通 常是令 g(x)=t,从中解出 x=φ(t),再将 g(x)、x 代入已知 解析式求得 f(t)的解析式，即得函数 f(x)的解析式，这种方 法叫做换元法，需注意新设变量“t”的范围. (2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析 式，然后利用已知条件列方程(组),再求系数. 1 (3)消去法：若所给解析式中含有 f(x)、f x 或 f(x)、f(-x) 等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到 f(x). (4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或 由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式.

[难点正本

疑点清源]

1.函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影 响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识. 2.(1)如果函数 f(x)的定义域为 A,则 f(g(x))的定义域是使 函数 g(x)∈A 的 x 的取值范围. (2)如果 f(g(x))的定义域为 A,则函数 f(x)的定义域是函数 g(x)的值域. (3)f[g(x)]与 f[h(x)]联系的纽带是 g(x)与 h(x)的值域相同.

求函数的定义域 1 3x2 - ,1 例 1 (1)函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域为_______ 3 . 1-x ln(x+1) (-1,1) . (2)函数 y= 的定义域为_______ 2 -x -3x+4

定义

域就是使解析式有意义的自变量的取值集合.注意对 数、根式和分式. 1-x>0 (1)由 3x+1>0

1 ,得- <x<1. 3

x+1>0 (2)由 2 -x -3x+4>0

,得-1<x<1.

探究提高(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有 意义为准则， 列出不等式或不等式组， 然后求出它们的解集， 其准则一般是： ①分式中，分母不为零； ②偶次根式，被开方数非负； ③对于 y=x0,要求 x≠0; ④对数式中，真数大于 0,底数大于 0 且不等于 1; ⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束. (2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系.

变式训练 1(1)若 f(x)=

1 log 1 (2 x 1)2

,则

1 - ,0 f(x)的定义域为__________ 2 .

要使 f(x)有意义，需 log 1 (2x+1)>0=log 1 1,2 2

1 ∴0<2x+1<1,∴- <x<0. 2

x-4 (2)若函数 f(x)= 2 的定义域为 R,则实数 m 的取 mx +4mx+3 值范围是__________.f(x)的定义域为 R,即 mx2+4mx+3≠0 恒成立.①当 m=0 时，符合条件.②当 m≠0 时，Δ=(4m)2-4×m×3<0, 3 即 m(4m-3)<0,∴0<m< . 4 3 综上所述，m 的取值范围是 0,4 . 3 0, 4

抽象函数的定义域例 2 若函数 f(2x)的定义域是[-1,1],求 f(log2x)的定义域.

先求 f(x)的定义域，再求 f(log2x)的定义域.∵f(2x)的定义域是[-1,1], 1 1 x ∴ ≤2 ≤2,即 y=f(x)的定义域是 2,2 , 2

1 由 ≤log2x≤2 2≤x≤4. 2 ∴f(log2x)的定义域是[ 2,4].

探究提高已知 f(x)的定义域是[a,b],求 f[g(x)]的定义域，是指满 足 a≤g(x)≤b 的 x 的取值范围，而已知 f[g(x)]的定义域是 [a,b],指的是 x∈[a,b].

变式训练 2已知 f(x)的定义域是[0,4],求： (1)f(x2)的定义域； (2)f(x+1)+f(x-1)的定义域.∵f(x)的定义域为[0,4],(1)有 0≤x2≤4,∴-2≤x≤2. 故 f(x2)的定义域为[-2,2]. 0≤x+1≤4, (2)有 0≤x-1≤4,

∴1≤x≤3.

故 f(x+1)+f(x-1)的定义域为[1,3].点评 如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商 的形式构成时，定义域是使各部分有意义的公共部分的集合.

求函数的值域例 3 求下列函数的值域. (1)y=x2+2x (x∈[0,3]); x-3 (2)y= ; x+1 (3)y=x- 1-2x; (4)y=log3x+logx3-1.

根据各个函数解析式的特点，考虑用不同的方法求解. (1)配方法；(2)分离常数法；(3)换元法或单调性法； (4)基本不等式法.

(1)(配方法) y=x2+2x=(x+1)2-1, y=(x+1)2-1 在[0,3]上为增函数，∴0≤y≤15, 即函数 y=x2+2x (x∈[0,3])的值域为[0,15].(2)(分离常数法) x-3 x+1-4 4 y= = =1- . x+1 x+1 x+ 1 4 4 因为 ≠0,所以 1

- ≠1, x+1 x+ 1 即函数的值域是{y|y∈R,y≠1}.

(3)方法一

(换元法)

1-t2 令 1-2x=t,则 t≥0 且 x= , 2 1-t2 1 于是 y= -t=- (t+1)2+1, 2 2 1 1 由于 t≥0,所以 y≤ ,故函数的值域是 y|y≤2 . 2 方法二 (单调性法)容易判断函数 y=f(x)为增函数，而其定义域应满足 1- 1 1 1 1 . y | y ≤ 2x≥0,即 x≤ ,所以 y≤f 2 = ,即函数的值域是 2 2 2