一个函数图像对称问题的探索

2007年第2期　　　　　　　　　　　　　数学教学研究39

,y2).

证明A(-2,12,B(1,3),C(4,-6),∴(3,-9),(6,-18),

S△ABC

又BC∥x轴交准线于C点,则C(-∴=S△AOC

y1

2

2

|3×(-18)-(-9)×6|=0,2

2p

,y1),=(-yy2

2

,y2),

故A、B、C三点共线.

例4　(2001年全国卷 20)设抛物线y2=2px

(p>0)的焦点为F,经过F的直线交抛物线于A、B

=2

2p

2

y1.

又AB为过焦点F,1y2=-p2(证略),

SAOC

-yy1=0,p2

两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明直线AC经过原点.

2

证明　因A、B均在y=2px上,设A2

yp

,y1),

A.

By2

2p

,y2).

一个函数图像对称问题的探索

胡芳举

(湖南省桃江县第一中学　413400)

　　文[1]至文[4]都对如下两类常见的对称问题进行了辨析:

例1　设函数y=f(x)定义在实数集上,且满足f

(1+x)=f(1-x),则f(x)的图像关于

于是同例3可得:方程g(x)=0的三个根之和为6,即方程f(x-3)+f(1-x)=0的三个根之和为6.

例3、例4形式相同,但实质不同,极易混淆.由于例3所涉及的对称问题较为常见,所以本文只对例4作深入探讨.

定理1　已知函数f(x),函数g(x)=f(a+x)+

f(b-x),则函数g(x)的图像关于直线x=

..

例2　若函数y=f(x)的定义域为R,则函数y

=f(1+x)与y=f(1-x)的图像关于

作为其补充,本文再给出一组容易混淆的对称问题:

例3　若函数f(x)(x∈R)满足:f(x-3)+f(1

-x)=0,且方程f(x)=0恰有三个相异实根,求这

2

成轴

对称.

证　设函数f(x)的定义域为A,要使函数g(x)有意义,只需:a+x∈A且b-x

∈A.

记集合B={x|a+x∈A,且b-x∈A},则函数

g(x)的定义域为B(≠ ),下面证明:

x′=b-a-x0∈BΖx0∈B.

三根之和.

例4　已知函数f(x)(x∈R),若方程f(x-3)

+f(1-x)=0恰有三个相异实根,求这三根之和.

分析　对于例3,由条件知:f(x)的图像关于点

(-1,0)成中心对称,又已知方程f(x)=0恰有三个

①

事实上,

x′∈BΖa+x′∈A且b-x′∈A

相异实根,所以这三个根中必有一根为-1,且另两根关于直线x=-1对称,因此这三根之和为-3.

对于例4,设g(x)=f(x-3)+f(1-x),则

g(2+x)=f(x-1)+f(-x-1),g(2-x)=f(-x-1)+f(x-1),

Ζa+(b-a-x0)∈A,且b-(b-a-x0)∈AΖb-x0∈A且a+x0∈AΖx0∈B.

在函数g(x)的图像上任取一点P(x0,y0)(x0∈

B),则它关于直线x=

∴g(2+x)=g(2-x),

∴g(x)的图像关于直线x=2成轴对称.

2

(b-a-的对称点为P′

x0,y0).因点P(x0,y0)在y=g(x)图像上,有

40

y0=g(x0)=f(a+x0)+f(b-x0).

数学教学研究　　　　　　　　　　　　2007年第2期

②

由推论2知:g(x)的图像关于,2)成中心对称.

2

x0∈B,由①知:b-a-x0∈B,即g(x)在点x=b

-a-x0处有意义.

例6　讨论函数g(x)=解　由

③

∴g(b-a-x0)

=f[a+(b-a-x0)]+f[b-(b-a-x0)]=f(b-x0)+f(a+x0).

的对称性.x+4

>0得:-4<x<2,x+4

∴g(x)=lg2+lg(2-x)-lg(4).设f(x)lg(2-<f--=lg(x4),gf()---x)+lg2.

由②、③得　y0=g(b-a-x0),

(b-a-x0,y0)在g(x)的图像上,所以函数g即点p′

(x)的图像关于直线x2

对称.

:

推论1　函数f(ax(-于直线x=

:g(x)的图像关于点(-1,lg2)成中.

注　仿上可求得函数y=logm

的对称中ax+b

2

.

定理2　已知函数f(x),函数g(x)=f(a+x)-f(b-x),则函数g(x)的图像关于点(

心,再由原函数与反函数的关系可求得函数y=

的对称中心.x

a m+b

x

2

,0)成中

例7　已知函数f(x)(x∈R),若方程f(x-3)f(1-x)-2=0恰有三个相异实根,求这三根之

心对称.

推论2　函数f(a+x)-f(b-x)+c的图像关于点和.

解　设g(x)=f(x-3)f(1-x)-2,则由推论3知:g(x)的图像关于直线x=2成轴对称,同例4可得:方程g(x)=0的三根之和为6,即方程f(x-3)f(1-x)-2=0的三根之和为6.

2

,c)成中心对称.

定理3　已知函数f(x),函数g(x)=f(a+

x)f(b-x),则函数g(x)的图像关于直线x=

2

成

注　若方程f(x-3)f(1-x)+2=0有实根,则实根的个数必为偶数.参考文献

[1]　高玉凤,郑树文.易混淆的四类图像对称问题

[J].中学数学教学,2004(1).

[2]　张圣官.形似而神异的函数问题辨析[J].中学

轴对称.

推论3　函数f(a+x)f(b-x)+c的图像关于直线x2

成轴对称.

下面举例说明以上定理及推论的应用.

例5　讨论函数g(x)2的对称性.

x-x解　容易验证g(x)=-+2.

x1-x

(x≠0),则f(1-x)设f(x)=,于是x1-xg(x)=f(x)-f(1-x)+2,

2

数学月刊,2004(8).

[3]　劳建祥.几组似是而非的数学“姐妹题”辨析

[J].中学数学教学,2006(1).

[4]

　蒙国锋.两类不同的轴对称问题[J].数学教学

研究,2006(10).