吴传生_经济数学_微积分_第二版_第四章_习题课PPT

第四章 习 题 课

一 教学要求

二 内容提要

三 教材习题选解

四 典型例题分析x 0 x 0,其中g(x ) 具有二阶

g(x ) cos x 例1 设f(x ) x a 连续导数，且 g(0) 1,

)确定a的值,使f(x )在x 0处连续； 2)求f (x ) ; 3)讨论f (x )在x 0处的连续性. 解： (1) f (0) ag( x ) cos x g ( x ) sin x lim f ( x ) lim lim x 0 x 0 x 0 x 1 g (0) a g (0)时, f ( x )在x 0处连续

0 ( 型， 0 洛 — 法则)

g( x ) cos x ( 2) x 0时, f ( x ) , x ( g ( x ) sin x ) x ( g( x ) cos x ) f ( x ) x2 f ( x ) f ( 0) (注意到f (0)存在的前提是 f ( x) f ( 0) l i m x 0 在x 0处连续, 即a g (0)) x g( x ) cos x g (0) x lim x 0 x 0 ( 型， g( x ) cos x g (0) x 0 lim x 0 洛 — 法则) x2 0 ( 型， g ( x ) si n x g (0) 0 l im x 0 洛 — 法则) 2x

g ( x ) si n x g (0) [ l i m ] x 0 2x g ( x ) cos x l im x 0 2 g ( 0 ) 1 2

0 ( 型， 0 洛 — 法则)

( g ( x ) sin x ) x ( g( x ) cos x ) 2 x f ( x ) g (0) 1 2

x 0 x 0

( g ( x ) sin x ) x ( g( x ) cos x ) 2 x [ f ( x ) g (0) 1 2

x 0 ] x 00 ( 型， 0 洛 — 法则)

( g ( x ) sin x ) x ( g( x ) cos x ) l i m f ( x ) l i m x 0 x 0 x2

( g ( x ) cos x ) x ( g ( x ) sin x ) ( g ( x ) sin x ) lim x 0 2x g ( x ) cos x l im x 0 2 g ( 0 ) 1 f (0) 2f ( x )在x 0处连续.

例2 求极限 limn[t 1] ( n N )n

1 n

解

1 1 t ln t ( 2 ) t 1 x l i m x[t x 1] ( 0型) l i m lim x x 1 x 1 2 x x 1 l im t x l n t t 0 ln t ln t x 1 x

当x为连续变量时，

1 x

limn[t 1] ln tn

1 n

1 例3 求极限 lim [ x x ln( 1 )] x x2

1 令u ,则 x 1 ln ( 1 u) 原式 lim [ ] 2 u 0 u u解：

u ln ( 1 u) lim u 0 u2 1 1 lim u 1 u 0 2u 1 1 lim u 0 2(1 u ) 2

0 ( 型) 0

例4 求极限 lim (x 0

e ex

2x

e ) ( n为给定的自然数) nnx 1 x

解：

原式 limex 0

1 e x e 2 x e nx ln x n

e

1 e x e 2 x e nx lim ln x 0 x n

1 e x e 2 x e nx lim ln x 0 x n ln(e x e 2 x e nx ) ln n ( 0 型) lim 0 x 0 x e x 2e 2 x ne nx 0 x 2x nx lim e e e (洛必达法则) x 0 1 n 1 1 2 n n 1 lim 2 原式 e x 0 1 1 1 2 n个

1 例5 设f ( x )

a sin x sin3 x ,问a为何值时, f ( x )在x 3 3 处具有极值? 是极大值还是极小值， 并求此极值。 解： (1) f ( x ) a cos x cos3 x f ( ) a cos cos 3 3 1 a 1 显然f ( )存在，且 是极值点，必有 f ( ) 0 2 3 3 31 即： a 1 0, a 2 2

1 ( 2) f ( x ) 2 sin x sin3 x f ( x ) 2 cos x cos3 x 3 f ( x ) 2 sinx 3 sin3 x f ( ) 2 sin 3 sin 3 3 3 是极大值点，极大值 : f ( ) 3 2 3 0, 3 3 2

例6 设 f ( x ), g( x )在[a , )上连续， (a , )上可导， y 且f (a ) g(a ),当x a时, f ( x ) g ( x ), 证明：当x a时，f ( x ) g( x ).证明： 做辅助函数： F ( x ) f ( x ) g( x )y

f ( x)

y g( x )

o

a

x

即：F ( x ) F (a ) F ( )( x a )

任取x a,则F ( x )在[a, x]上连续，在 (a, x )内可导， F ( x ) F (a ) 由拉氏中值定理， (a, x ), 使： F ( ) x a

而 F ( ) f ( ) g ( ) 0 , 且x a, F ( x ) F (a ) 0 F ( x ) F (a ) f (a ) g(a ) 0 即：f ( x ) g( x ) 0

亦即：f ( x ) g( x )

例7 设 f ( x )在[a , b]上连续， (a , b)内二阶可导， 且f (a ) f (c ) f (b) (a c b), 证明：至少存在一点 (a, b), 使得f ( ) 0分析： 要证明f ( ) 0,就要设法对 f ( x )用罗尔定理 ;

由f (a) f (c) f (b) 更应想到罗尔定理 .证明：由已知，f ( x )在[a, c]上满足罗尔定理的条件 ， 1 (a, c ),使：f ( 1 ) 0; 同理， 2 (c, b), 使：f ( 2 ) 0

再由已知， f ( x )在[ 1 , 2 ]上连续， ( 1 , 2 )内可导, ( 1 , 2 ) (a, b),使f ( ) 0

f ( 1 ) f ( 2 ), f ( x )在[ 1 , 2 ]上满足罗尔定理的条件 ，

例8 设 f ( x )在[a , b]上连续， (a , b)内可导， f ( ) f (a ) 证明：至少存在一点 (a , b), 使f ( ) . b 分析：构造辅助函数 f ( x ) f (a ) f ( ) f (a ) 将 换成x f ( x ) f ( ) b x b 变形 f ( x)(b x) f ( x) f (a)即：f ( x )b xf ( x ) f ( x ) f (a ) 0

[bf ( x)] [ xf ( x)] [ f (a) x] 0 [bf ( x) xf ( x) f (a) x] 0令F ( x) bf ( x ) xf ( x) f (a) x C (取C 0) 则F (a) F (b) (有罗尔定理)

[ 设 f ( x )在[a , b]上连续， (a , b)内可导， f ( ) f (a ) 证明：至少存在一点 (a , b), 使f ( ) .] b 证明：构造辅助函数 F ( x) bf ( x) xf ( x) f (a) x

由已知：F ( x )在[a, b]上连续， (a, b)内

可导， F (a ) bf (a ) af (a ) f (a )a bf (a ); F (b) bf (b) bf (b) f (a )b bf (a ), F (a ) F (b) F ( x )在[a, b]上满足罗尔定理的条件 ， 至少存在一点 (a, b),使F ( ) 0 F ( x ) bf ( x ) xf ( x ) f ( x ) f (a ) F ( ) bf ( ) f ( ) f ( ) f (a ) 0 f ( ) f (a ) f ( ) b