对数函数及性质---习题课课件

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对数与指数的关系

ab N , b loga N指数函数与对数函数的关系

由指数函数y a x x log a y, 一般用y表示函数， 用x表示自变量，上式变为y=log a x 对数函数. 指数函数与对数函数从对应的关系理解，是一种 逆对应关系.像这样具有逆对应关系的两个函数 称为互为反函数. 例如：求函数y 2 x 1的反函数 y 1 解：由y 2 x 1得x , x、y互换得 2 2 x 1 y 为函数y 2 x 1的反函数. 2 2

指数函数图像与对几何画板.lnk数函数的图像的关系

xy 2x

-3

-2

-1

0

1

2

3

1/8

1/4

1/2

1

2

4

8

x

1/4 1/2 1 -1 0

2 1

4 2

8 3

16 4

y log2 x -2

f x = 2x log x g x = log 2 h x = x

8

6

4

y=f(x)

2

-10

-5

5

10

-2

-4

-6

-8

13、对数函数的图象和性质a>1 0<a<1

图 象(1)定义域： (0,+∞)

性 (2)值域： R 质 (3)过点， (1,0) 即x=1时，y=0(4)在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数

1.对数函数的概念 函数 y=logax(a>0,且a≠1)

叫做对数函数.

2.对数函数的图象和性质. 图在下一页 3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a≠1) y=x 反函数 互为 .它们的图象关于 对称.

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函数 a的取值

y=logax (a>0,a 1) 0<a<1 a>1(0, )

定义域值域

R

图象

图象 特征 单调性

在y轴的右侧，过定点(1,0) 当x>0且x→0时,图象趋 当x>0且x→0时，图象趋 近于 y轴正半轴. 近于 y轴负半轴.在(0,+∞)上是减函数. 在(0,+∞)上是增函数.

y∈(0,+∞) 当0<x<1时， 函数值的 y=0 当 x=1 时， ; 变化规律 y<0. 当 x>1 时,

当

0<x<1

时，y<0;

当x=1时， y=0 ; 当x>1时， y>0 .

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学点一

比较大小

比较大小：

4 6 log (1) 1 ,log 1 ; 2 5 2 7( 2) log1 3,2

; log 1 35

log1 0.3, log2 0.8 . ( 3)3

【分析】从对数函数单调性及图象变化规律入手.

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【解析】(1)∵函数y= log1 x

在(0,+∞)上递减，又∵ 4 6 5 74 6 log1 log1 ∴ 2 5 2 7

2

,

.

(2)借助y= log1 x 及y= log1 x 的图象，tx 如图所示，在(1,+∞)内，前者在后者的下方， ∴ log1 3 log1 3 .2 52 5

log1 0.3 >0, log2 0.8 <0, (3)由对数函数的性质知，

∴ log1 0.3 > log2 0.8 .3

3

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【评析】比较两个对数值的大小，常用方法： (1)当底数相同，真数不同时，用函数的单调性来比 较； (2)当底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也 可用换底公式转化为同底数的对数后比较； (3)当底数与真数都不同时，需寻求中间值比较.

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比较下列各组数中两个值的大小：

(1) log2 3.4,log2 8.5 ;(2) log0.31.8,log0.

3 2.7 ; (3) loga 5.1,loga 5.9 (a>0,且a≠1).

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(1)考查对数函数y=log2x,因为它的底数2>1,所以它在 (0,+∞)上是增函数，于是log23.4<log28.5. (2)考查对数函数y=log0.3x,因为它的底数满足0<0.3<1, 所以它在(0,+∞)上是减函数，于是log0.31.8>log0.32.7. (3)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小 于1,而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大，因此， 要对底数a进行讨论： 当a>1时，函数y=logax在(0,+∞)上是增函数，于是 loga5.1<loga5.9; 当0<a<1时，函数y=logax在(0,+∞)上是减函数，于是 loga5.1>loga5.9.

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学点二

求定义域

求下列函数的定义域：

y (1)

log0.5 (4x - 3);

x y log (16 4 ). x 1 (2)

【分析】注意考虑问题要全面，切忌丢三落四. 【解析】(2)由log0.5(4x-3)≥0 4x-3>0得0<4x-3≤1,3 ∴ 4 <x≤1. 3 ∴函数的定义域是 4 ,1 .

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(2)由

16-4x>0

x+1>0x+1≠1

得

x<2

x>-1

x≠0.

∴-1<x<0或0<x<2. ∴函数的定义域是(-1,0)∪(0,2). 【评析】求函数定义域实质上就是据题意列出函数成立的不等 式(组)并解之，对于含有对数式的函数定义域的求解，必须 同时考虑底数和真数的取值条件，在本例(2)(4)中还用到 指数、对数的单调性.

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求下列函数的定义域： (1) y=

log0.8x - 1 ; 2x - 1

(2)y log3x -1

2x 3 . x 1

(1)要使函数有意义，必须且只需x>0 log0.8x-1≥0 即 x>0 x≤0.8

2x-1≠0, x≠ 1 , 1 2 4 ∴0<x≤ 且x≠ . 2 5 1 1 4 因此，函数的定义域是 0, , .

2

2 5

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