4向量组的线性相关性

第四章 向量组的线性相关性

本章不仅要讨论向量组的有关理论，建立向量组秩的概念，还要沟通矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，并抽象出向量空间的概念，最后以此为背景完整的处理线性方程组的解的结构理论。

本章中线性相关性是一个较难理解和掌握的概念，学习中应注意其在二、三维向量的几何解释。

§1 n维向量

在高等数学中曾介绍了二、三维向量的概念，即用二、三元数组描述了一系列物理现象，如力所作的功，刚体旋转运动中的线速度问题等。但要更广泛的应用向量这个工具只考虑二三维空间就不够了。如研究卫星在太空中的运行状态时，不仅要关注它的几何位置，还需知道它的表面温度、压力等物理参数，即至少要用六数组（t, x, y, z, τ, p）。因此有必要拓广向量的概念，引入由n元数组构成的n维向量，并抽象出向量空间的概念。

定义1 n个有次序的数a1, a2, , an所组成的数组成为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量.

注 分量全为实数的向量称为实向量。分量不全为实数的向量称为复向量。我们只研究实向量。 n维向量分为行向量和列向量两大类，前面也说过这两类分别就是行矩阵和列矩阵，因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算，从而符合矩阵运算的一切性质。在本章中，向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算。为叙述方便，我们约定：在不特别声明时我们说到的向量均为列向量。

同于分块阵中所述，我们仍用小写黑体字母a, b, , 等表示列向量，用aT,bT, T, T表示行向量。例如，e1 (1,0, ,0)T，e1 (0,1,0, ,0)T， ，e1 (0, ,0,1)T统称为n维单位向量。

当n = 2时的二维向量就是平面解析几何中的向量 —— 即有大小又有方向的量，并且平面

即大小相等、方向一致的向量认为是同一个向量，如右图中 P1P2 引入一平面坐标系：P(x,y),P1(x1,y2),P2(x2,y2)，因为

x x2 x1,y y2 y1， 这种自由向量与平面上的点P(x, y)构成一一对应，称之为向量的坐标，即 (x,y)T，这

种二维向量的全体构成的集合R2 { r = (x, y)T x, y R }称为二维向量空间。

完全类似地，可将二维向量推广到三维空间中去。 当n = 3时，由于空间中可随意平行移动的有向线段与空间中的点P(x,y,z)构成一一对应，故我们也称点P的坐标(x,y,z)为向量坐标，

即 (x,y,z)T，这种三维向量的全体构成的集合R3 { r = (x, y, z)T x, y, z R }称为三维向量空间。由于三维向量r =(x,y,z)T与空间中的点P(x,y,z)是一一对应的，三维向量的集合常常就类比成点的集合，例如我们知道ax+by+cz = d在空间中表示一个平面，故我们也称三维向量的集合

= { r = (x, y, z)T ax+by+cz = d}

为三维向量空间R3中的平面。

当n > 3时，虽然n维向量就不再具有这种几何形象了，但我们仍沿用这些说法和记号，全体n维向量构成的集合

Rn { r =(x1,x2, ,xn)T x1,x2, ,xn R }

称为n维向量空间，n维向量的集合

= { r =(x1,x2, ,xn)T a1x1 a2x2 anxn b}

称为n维向量空间Rn中的n-1维超平面。

§2 向量组的线性相关性

一、 线性表示

1、线性表示

我们称由若干个同维数的列(行)向量构成的集合是一个向量组。

TTT例如，m n矩阵A的m个n 维行向量可构成一个行向量组 —— 矩阵A的行向量组 1, 2, , n，

T 1 反过来，任给一组n维行向量，都可以构成一得矩阵A ，因此它们构成一一对应； T m

类似地，m n矩阵A的n个m维列向量构成的列向量组a1,a2, ,am也与A构成一一对应，故我们也用大写字母表示向量组为 A：a1,a2, ,am. 比如，n阶单位阵E对应的列向量组就是n维单位向量组E：e1,e2, ,en.

在讲分块阵时曾建立了线性方程组Am nx b用其系数阵A的列向量组来表达的等价形式

x1 a1 + x2 a2 + + xn an = b ，

现在要改用向量的语言来描述这个表达式，定义如下 定义1

给定向量组A：a1,a2, ,am， k1, k2, , km是任意一组实数，我们称向量

k1 a1 + k2 a2 + + km am

是向量组A的一个线性组合，k1, k2, , km称为组合系数。

给定向量组A：a1,a2, ,am,和向量b，若存在一组实数 k1, k2, , km，使得

b = k1 a1 + k2 a2 + + km am ，

即b是向量组A的一个线性组合，我们称向量b可由向量组A线性表示(或线性表出)

注 任一个n维向量a = (a1, a2, , an)T 都可由n维单位向量组e1,e2, ,en线性表示:

a = a1e1 + a2 e2 + + an en .

在几何角度看线性表示，即在二维向量空间中

来看线性组合： 若 b = k1 k2 0)

则b在a1与a2张成的平面上。 实际上，用方程组的语言来描述向量之间的线性表示就是

向量b可由向量组A线性表示 方程组 x1 a1 + x2 a2 + + xn an = b 有解

Am nx b有解

R (A) = R (B) .

即有结论

定理1 向量b可由向量组A：a1,a2, ,am线性表示 矩阵A = (a1,a2, ,am)的秩等于矩阵B =(a1,a2, ,am, b)

2、两个向量组的等价

定义3 设有两个n维向量组A：a1,a2, ,am，B：b1,b2, ,bs，若向量组B中每个向量都可由向量组A线性表示，则称向量组B可由向量组A线性表示；若向量组A与向量组B可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。

注 显然向量组的等价也是等价关系，即向量组的等价具有: 自反性、对称性、传递性. 若向量组A可由向量组B线性表示，则A中的每一个向量都可以用B中的向量线性表示，用方程组的语言说就是：方程组Ax = O中的每一个方程都可以用方程组Bx = O中的方程线性组合得到，所以Bx = O的解都是Ax = O的解；若向量组A与B等价，则反之也成立。所以

向量组A与B等价 Ax = O与Bx = O是同解方程组。

既然一个向量b可由向量组A线性表示可等价地表示成方程 b = k1 a1 + k2 a2 + + km am ， 那么若向量组B可由组A线性表示，则对组B的任意向量b j，有

k1j k2j j = 1,2,

,s.

b j = k1 j a1 + k2 j a2 + + km j am a1,a2, ,am kmj k11k12 k1s k22 k2s k b1,b2, ,bs a1,a2, ,am 21 km1km2 kms

我们称矩阵K m s =( kij)B = AK B的列向量组可由A的列向量组线性表示。

又B T = K TA T，这表明矩阵B T的列向量组可由A T的列向量组线性表示，即

B KA B的行向量组可由A的行向量组线性表示。

特别地，若An mKm Bn m，且表示矩阵K为满秩阵 A的列向量组与B的列向量组等价；

KnAn m Bn m，且表示矩阵K为满秩阵 A的行向量组与B的行向量组等价；

例1 设n维向量组a1,a2, ,an可线性表示单位向量组e1,e2, ,en，求证这两个向量组等价。 证 因为a1,a2, ,an可由单位向量组e1,e2, ,en线性表示，再由已知条件知，结论成立。 ▋ 单位向量组e1,e2, ,en是很有特点的一个向量组，从几何的观点来看(如下图中的i, j, k)，它们中的任何一个向量都不能由其余的向量线性表出，也可形象地说：任一

向量“突出”于其余的n–1个向量生成的“空间”之(见右图)。我们

如何用数学语言来描述、即如何抽象这个几何特征？ 我们以三个向量

为例来分析看看。设有a1,a2,a3，我们的问题是：

a1可否表示为a …… 此处隐藏：11363字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……