2019届高考数学一轮复习 配餐作业13 变化率与导数、导数的计算(

2019届高考数学一轮复习 配餐作业13 变化率与导数、导数的计算

（含解析）理

一、选择题

1．(2016·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′? ??

??π2＝( ) A ．－3π2 B ．－1π2 C ．－3π

D ．－1π 解析 ∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x

(－sin x )， ∴f (π)＋f ′? ??

??π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π。故选C 。 答案 C

2．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )

A ．1

B ．2

C ．e

D.1e 解析 由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x | x ＝0＝e 0＝1。故选A 。

答案 A

3．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点? ??

??π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )

A ．－1

B.12 C ．－2 D ．2

解析 ∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′| x ＝π2

＝－1， 由条件知1a

＝－1，∴a ＝－1。故选A 。 答案 A

4．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154

x －9都相切，则a 等于( ) A ．－1或－2564 B ．－1或214

C ．－74或－2564

D ．－74

或7 解析 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 3

0)，

则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，

所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，

即y ＝3x 20x －2x 30。

又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32

。 当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564

； 当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由 y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154

x －9相切，可得a ＝－1。

综上，a 的值为－1或－2564

。故选A 。 答案 A

5．(2017·上饶模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( )

A ．1 B. 2 C.22 D. 3 解析 因为定义域为(0，＋∞)，所以y ′＝2x －1x

＝1，解得x ＝1，则在P (1,1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝2。故选B 。

答案 B 6．(2016·安庆二模)给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”。已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )

A ．在直线y ＝－3x 上

B ．在直线y ＝3x 上

C ．在直线y ＝－4x 上

D ．在直线y ＝4x 上

解析 f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由题意知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上。故选B 。

答案 B

二、填空题

7．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________。

解析 由题意得f ′(x )＝(2x ＋3)e x ，则得f ′(0)＝3。

答案 3

8．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为________。 解析 由题意知，A (2,8)在y ＝x n 的图象上，

∴2n ＝8，∴n ＝3，

∴y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2,8)。∴y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0。

答案 12x －y －16＝0

9．(2017·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x ＋1上，且在第二象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________。

解析 ∵y ′＝3x 2－1，曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，

∴3x 2－1＝2，x ＝±1，又∵点M 在第二象限，∴x ＝－1，

∴y ＝(－1)3－(－1)＋1＝1，∴点M 的坐标为(－1,1)。

答案 (－1,1)

10．若函数f (x )＝12

x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________。

解析 ∵f (x )＝12

x 2－ax ＋ln x ， ∴f ′(x )＝x －a ＋1x

。 ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，

∴f ′(x )存在零点，

即x ＋1x －a ＝0有解，又∵x >0，∴a ＝x ＋1x

≥2。 答案 [2，＋∞)

三、解答题

11．已知函数f (x )＝x 3＋x －16。

(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标。 解析 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上。

∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，

∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13。 ∴切线的方程为y ＋6＝13(x －2)，即y ＝13x －32。

(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，

则直线l 的斜率k 为f ′(x 0)＝3x 2

0＋1， y 0＝x 3

0＋x 0－16，

∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 3

0＋x 0－16。 又∵直线l 过原点(0,0)，

∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得， x 3

0＝－8，

∴x 0＝－2，

∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13。 ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)。 答案 (1)y ＝13x －32

(2)y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)

12．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值。

解析 对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2， 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ， 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，

由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直。 ∴(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，

即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，①

又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，

故有?

???? y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ， ?2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0。②

由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52

。 答案 52

(时间：20分钟)

1．(2016·江西五校联考)已知函数f n (x )＝x n ＋1，n ∈N *的图象与直线x ＝1交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为( )

A ．1

B ．1－log 2 0162 012

C ．－log 2 0162 012

D ．－1

解析 由题意可得点P (1,1)，f ′n (x )＝(n ＋1)x n

，所以点P 处的切线的斜率为n ＋1，故可得切线的方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，所以与x 轴交点的横坐标x n ＝

n

n ＋1

，

则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015＝ log 2 016x 1x 2…x 2 015＝log 2 0161

2 016＝－1，故选D 。

答案 D

2．曲边梯形由曲线y ＝x 2

＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2

＋1(x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为( )

A.? ????32，2

B.? ????32，134

C.? ??

??52，134 D.? ??

??52，2 解析 设P (x 0，x 2

0＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2

＋1在点P …… 此处隐藏：3580字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……