2016届高考数学(文)一轮同步训练：第4章+4.2+同角三角函数基本关

§4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式

1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sinsinα

(2)商数关系：tanα.

cosα

2．下列各角的终边与角α的终边的关系

2

2

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．( × ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．( × ) 11

(3)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cosθ＝× )

33

m－34－2mπ

(4)已知sinθ＝cosθ＝，其中θ∈[，π]，则m<－5或m≥3.( × )

m＋5m＋52(5)已知

θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝

3－13

tanθ的值为－3或－.( × ) 23

11＋2sinαcosα1

(6)已知tanα√ ) 22

2sinα－cosα3

5

1．已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα等于( )

135A．－

135C.13答案 B

5

解析 ∵sinαα是第二象限角，

13122

∴cosα＝－1－sinα13

1π

2．已知sin(π－α)＝log8，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为( )

4225

A．－525C．±5答案 B

12

解析 sin(π－α)＝sinα＝log8

43

5B.55 212B．－

1312D.13

π

又α∈(－0)，

2得cosα1－sinα＝

2

5 3

tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα sinα25＝－.

cosα5

2π π 2 3．已知cos －α ＝，则sin α－＝________.

3 6 3 2

答案 3

2ππ π α－－ －α 解析 sin ＝sin 3 2 6

π π

＝－sin －α

2 6

2π ＝－cosα ＝－3 6

π 2cos ，x≤2 000，

34．已知函数f(x)＝ x－15，x>2 000，答案 －1

解析 ∵f[f(2 015)]＝f(2 015－15)＝f(2 000)， 2 000π2

∴f(2 000)＝2cos＝2cos

π＝－1.

33

则f[f(2 015)]＝________.

题型一 同角三角函数关系的应用

3

例1 (1)已知cos(π＋x)＝x∈(π，2π)，则tanx＝________.

5(2)已知tanθ＝2，则sinθ＋sinθcosθ－2cosθ等于( ) 4534A．－．－

34454

答案 (2)D

3

33

解析 (1)∵cos(π＋x)＝－cosx，∴cosx＝－.

55又x∈(π，2π)，

2

2

∴sinx1－cosxsinx4

∴tanx＝.

cosx3

2

3241－(＝－，

55

sinθ＋sinθcosθ－2cosθ

(2)sinθ＋sinθcosθ－2cosθ＝sinθ＋cosθ

2

2

22

sinθsinθcosθ

＋－22222

cosθcosθtanθ＋tanθ－22＋2－2＝＝222

sinθtanθ＋12＋1

＋12

cosθ4＝5

sinα22

思维升华 (1)利用sinα＋cosα＝1可以实现角α＝

cosαtanα可以实现角α的弦切互化．

(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)＝1±2sinαcosα，可以知一求二．

(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sinα＋cosα，sinα＝1－cosα，cosα

＝1－sinα.

1＋sinx1cosx

(1)已知＝－的值是( )

cosx2sinx－1

11

A.．2D．－2 22

(2)已知tanθ＝2，则sinθcosθ＝________. 2答案 (1)A

5

1＋sinxsinx－1sinx－1

解析 (1)由于＝＝－1， 2

cosxcosxcosxcosx1

故. sinx－12

sinθ·cosθ

(2)sinθcosθ＝22

sinθ＋cosθ＝

tanθ22

＝＝. tanθ＋12＋15

22

2

2

2

2

2

2

2

题型二 诱导公式的应用

3 π 5π－α 的值；

例2 (1)已知cos α ＝，求cos

6 3 6

7 3 (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan α－π 的值．

2 5

ππ5π

思维点拨 (1)α看作一个整体，观察＋α与α的关系．

666(2)先化简已知，求出cosα的值，然后化简结论并代入求值．

π 5π－α ＝π，

解 (1)∵ α ＋

6 6

5ππ

∴α＝π－α6 6∴cos

.

5π－α ＝cos π－ π＋α

6

6

3π ＝－cosα ＝－，

3 6 即cos

5π－α ＝－3 3 6

(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) 3

＝cos(π－α)＝－cosα＝－

53

∴cosα5

7 ∴sin(3π＋α)·tan α 2

7 ＝sin(π＋α)· －tan π－α

2 π ＝sinα·tan －α 2 πsin －α 2

＝sinα·

πcos －α 2

cosα3

＝sinα＝cosα＝.

sinα5

思维升华 熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系，

并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．

π 17π (1)已知sin α＋ ＝，则cos α＋的值为________．

12 312

(2)已知sinα

是方程5x－7x－6＝0的根，α

2

是第三象限角，则

33

sin(－α－)cos(π－α)

222

(π－α)＝__________________________________.

ππ

cos(－αα)

22

19

答案 (1)－ (2)－

316

ππ7π 解析 (1)cos α＋＝cos α＋＋

12 2 12 π 1 ＝－sin α＋ ＝－12 3

32

(2)∵方程5x－7x－6＝0的根为－或2，

53

又α是第三象限角，∴sinα＝－，

542

∴cosα＝－1－sinα

53－53sinα

∴tanα＝，

cosα44

－5

cosα(－sinα)922

∴原式＝·tanα＝－tanα＝－.

sinα·cosα16题型三 三角函数式的求值与化简

π

例3 (1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π

2＋β)－1＝0，则sinα的值是( ) 35A.

5310C.

10

7B.71 3

1

(2)已知α是三角形的内角，且sinα＋cosαtanα＝________.

54

答案 (1)C (2)3

π

解析 (1)2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0化简为

2－2tanα＋3sinβ＋5＝0，①

tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为 tanα－6sinβ－1＝0.② 由①②消去sinβ， 解得tanα＝3.

又α为锐角，根据sinα＋cosα＝1，

2

2

310

解得sinα＝101

(2)因为sinα＋cosα＝

5

122

所以(sinα＋cosα)＝1＋2sinα·cosα＝()，

524

即2sinα·cosα＝－，

25

24492

所以(sinα－cosα)＝1－2sinα·cosα＝1＋＝

252524

又2sinα·cosα＝－<0,0<α<π，

25所以sinα>0，cosα<0，即sinα－cosα>0， 故sinα－cosα497 255

1

sinα＋cosα＝， 5由 7

sinα－cosα＝， 54所以tanα＝－3

4

sinα＝， 5得 3

cosα＝－ 5

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