1.3 第一课时 相似三角形的判定及性质 课件(人教A选修4-1)

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1.相似三角形

(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做 相似三角形 ，相似三角形对应边的比值叫做 相似比 或 (相似系数). (2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或 两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 .

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2.相似三角形的判定定理 (1)判定定理1:对于任意两个三角形，如果一个三角形 的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个

两角 三角形相似，简述为：

对应相等，两三角形相似.

(2)判定定理2:对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似，简述为： 两边 对应成比例且 夹角 相等，两三角形相似.

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引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所 得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形 第三边

的

.(3)判定定理3:对于任意两个三角形，如果一个三角形的

三边 三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角 形相似，简述为： [说明] 对应成比例，两三角形相似.

在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1,

即两角对应相等，两三角形相似.因为它的条件最容易寻 求.在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角.判定

定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多.

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3.直角三角形相似的判定定理 (1)定理：①如果两个直角三角形有一个 锐角对应相等，

那么它们相似；②如果两个直角三角形的两条直角边 对应成比例 那么 它们相似. (2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个三角形的斜边和一条直角边 对应成比例 ，那么这两

个直角三角形 相似 .

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[说明]

对于直角三角形相似的判定，除了以上方法

外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分 成的两个直角三角形与原三角形相似. 在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含 条件的利用.

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[例1]

如图，已知在△ABC中，

AB=AC,∠A=36°,BD是角平分线， 证明：△ABC∽△BCD.

[思路点拨]

已知AB=AC,

∠A=36°,所以∠ABC=∠C=72°,而BD是角平分 线，因此，可以考虑使用判定定理1.

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[证明] ∵∠A=36° ,AB=AC, ∴∠ABC=∠C=72° . 又∵BD 平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD=36° , ∴∠A=∠CBD. 又∵∠C=∠C,∴△ABC∽△BCD.

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判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平

行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，①找另一对等角，②找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应 边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例，

③找一对直角.

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1. 如图，在 ABCD中，E、F分别在AD 与CB的延长线 上，请写出图中所有 的相似三角形.

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解：∵AB∥CD, ∴△EDH∽△EAG,

△CHM∽△AGM,△FBG∽△FCH. ∵AD∥BC, ∴△AEM∽△CFM, △AEG∽△BFG,

△EDH∽△FCH.∴图中相似的三角形有： △AEM∽△CFM,△CHM∽△AGM, △EDH∽△EAG∽△FBG∽△FCH.

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2.如图，在四边形 ABCD 中， AE AF BG DH EB=FD,GC=HC. 求证：△OEF∽△OHG.

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证明：如图，连接 BD. AE AF ∵EB=FD, ∴EF∥BD. BG DH 又∵GC=HC,∴GH∥BD. ∴EF∥GH. ∴∠EFO=∠HGO,∠OHG=∠OEF. ∴△OEF∽△OHG.

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3.已知，如图，在正方形ABCD中，P是 BC上的点，且BP=3PC,Q是CD的中点. 求证：△ADQ∽△QCP.