23.2.1解直角三角形及其应用(1)

复习

在直角三角形中，我们能够得到哪些 关系呢(边与边、角与角、边与角)?

(1)三边之间的关系：

a b c2 2

2

(勾股定理)

(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系：

A c

A的对边 a sin A 斜边 c

sin B

B的对边 b 斜边 c

b

cos A

A的邻边 b 斜边 c A的对边 a tan A A的邻边 b

B的邻边 a cos B 斜边 c B的对边 b tan B B的邻边 a

C

a

B

这样的问题怎么解决问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所 成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问： (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1m)? (2)当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少(精 确到1°)?这时人是否能够安全使用这个梯子？

问题(1)当梯子与地面所成的角a为75°时， 梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到 的最大高度.问题(1)可以归结为：在Rt △ABC中，已知 ∠A=75°,斜边AB=6,求∠A的对边BC的长. B

解：

由 sin A

BC 得 ABAα C

BC AB sin A 6 sin 75 由计算器求得 sin75°≈0.97 所以 BC≈6×0.97≈5.8

因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m

对于问题(2),当梯子底端距离墙面2.4m时， 求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC=2.4,斜边AB =6,求锐角a的度数

解：由于

AC 2.4 cos a 0.4 AB 6a≈66° A

B

利用计算器求得

α

C

因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面 所成的角大约是66° 由50°<66°<75°可知，这时使用这个梯子 是安全的.

探究在图中的Rt△ABC中， (1)根据∠A=75°,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ B 能 6 α =75° A C

A B 90 B 90 A 90 75

BC sin A BC AB sin A 6 sin 75 AB AC cos A AC AB cos A 6 cos 75 AB

探究在图中的Rt△ABC中，(2)根据AC=2.4,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ B 能 6

AB2 AC 2 BC 2 BC AB2 AC 2 62 2.42 5.5

AC 2.4 cos A cos A 0.4 A 66 AB 6

α A 2.4

C

A B 90 B 90 A 90 66 24

解直角三角形解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程. A

事实上，在直角三角形的六个元素中，

除直角外，如果再知道两个元素(其中至少有一个是边),这个三角形就 可以确定下来，这样就可以由已知的

b

c

C

a

B

两个元素求出其余的三个元素.

例题解析' B 42 6 , c 287.4 例1、 如图，在Rt△AB

C中，∠C=90°,

解这个直角三角形

A287.4

解：

A 90 42 6' 47 54'C

a 由cos B , 得 ca c cos B 287.4 0.7420 213.3

42 6'

B

b 由sinB , 得 c b c sin B 287.4 0.6704 192.7

例题解析 例2 、如图，在Rt△ABC中，∠B=35°,b=20, 解这个直角三角形(精确到0.1)

A b 20 C

解：∠A=90°-∠B=90°-35°=55°b tan B a b 20 20 a 28.6 tan B tan 35 0.70B

c 35° a

b sin B c b 20 20 c 35.1 sin B sin 35 0.57

你还有其他 方法求出c吗？

例题拓展例3、在△ABC中，∠A=550,b=20cm,c=30cm。 求三角形的面积S△ABC解：作AB边上的高CD,在Rt△ACD中 CD=AC· sinA=bsinA

C

s ABC

A 0 当∠A=55 ,b=20cm,c=30cm时，有1 1 S ABC bc sin A 20 30sin 55 2 2 1 20 30 0.8192 245.8(cm 2 ) 2

1 1 AB CD bc sin A 2 2

D

B

练习

在Rt△ABC 中，∠C=90°,根据下 列条件解直角三角形；(1) a = 30 , b = 20 (2) ∠B=72°,c = 14B c c=14 B a A

a=30

b

A

b=20 C

C

练习在Rt△ABC中，∠C=90°,根据下列条件解直角三角形； (1)a = 30 , b = 20 ;

解：根据勾股定理

Bc

C a 2 b2 302 202 10 13

a=30

a 30 3 tan A 1.5 b 20 2

A

b=20 C

A 56.3

B 90 A 90 56.3 33.7

在Rt△ABC中，∠C=90°,根据下列条件解直角三角形； (2) ∠B=72°,c = 14.

解：

A

b sin B c

c=14 B a

b C

b c sin B 14 sin 72 13.3a cos B c

a c cos B 14 cos 72 4.34

A 90 72 18

解直角三角形：直角三角形中， 由已知元素求未知元素的过程∠A+ ∠ B=90°

归纳小结斜边c

B∠A的对边a

a2+b2=c2解直角 三角形三角函数 关系式

A

┌ ∠A的邻边b C

a b sin A ,sin B c c b a cos A , cos A c c a b tan A , tan B b a由锐角求三角函数值

计算器 由三角函数值求锐角