吉林省实验中学2013-2014学年高三上学期第四次阶段检测数学(理)

吉林省实验中学2013—2014年度高三上学期第四次阶段检测

数学（理）试题

命题人：刘乙 审题人：梁清华 黄海燕

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.设集合2

{|21},{|10}x A x B x x -=<=-≥，则A B 等于 （ ）

A.{|1}x x ≤

B.{|12}x x ≤<

C.{|01}x x <≤

D.{|01}x x << 2.已知复数z 满足2

(3)(1i z i i

+=+为虚数单位），则复数z 所对应的点所在象限为 （ ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限

3.下列说法正确的是 （ ）

A. 命题“R x ∈?使得0322<++x x ”的否定是：“032,2>++∈?x x R x ”

B. “1>a ”是“)1,0(log )(≠>=a a x x f a 在),0(+∞上为增函数”的充要条件

C. “p q ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的必要不充分条件

D. 命题p ：“2cos sin ,≤+∈?x x R x ”，则?p 是真命题

4．等差数列{}n a 中，564a a +=，则10122log (222)a a a ????= （ ）

A ．10

B ．20

C ．40

D ．2+log 25

5.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）

6.如果)(x f '是二次函数, 且 )(x f '的图象开口向上,顶点坐标为(1,3), 那么曲线

)(x f y =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是 （ ）

A ．]3,0(π

B ．)2,3[ππ

C ．]32,2(ππ

D ．),3

[ππ 7.设函数()|sin(2)|3

f x x π=+，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是 （ ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 最小正周期为π C. ()f x 图象关于点(,0)6π

-对称 D. ()f x 在区间7[,]312

ππ上是增函数

8.如图，长方形的四个顶点为)2,0(),2,4(),0,4(),0,0(C B A O ，曲线x y =经过点B ．现

将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 （ ）

A ．12

5 B ．21 C ．

32 D ．43 9.已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的两条渐近线均和圆C :22650x y x +-+=相 切,则该双曲线离心率等于 ( ) A. 553 B. 26 C. 2

3 D. 55 10.若a ,b ,c 均为单位向量，a · b 21-

=，c=x a + y b ),(R y x ∈，则y x +的最大值是 ( ) A ． 2

B. C

D. 1

11.高为4

2的四棱锥ABCD S -的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为 （ ）

A ．42 B. 2

2 C

D. 1 12.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，

3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（ ） A.10,5,5+∞ （]（） B. 10,[5,5+∞ （）） C.11,]5,775 （（） D.11,[5,775 （））

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12(2)n n a S n -=≥，则n a = .

14.设ΔABC 的三边长分别为,,a b c ，ΔABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a b c

++；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半

径为R ，四面体P －ABC 的体积为V ，则R ＝ .

15.已知O 是坐标原点，点A (1,0)，若点M (,)x y 为平面区域212x y x y +≥??≤??≤?

上的一个动点，则

||OA OM + 的最小值是 .

16.设抛物线x y C 16:2=的焦点为F ，过点)0,4(-Q 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，若||2||QB QA =，则直线l 的斜率=k .

三、解答题：本大题共6道题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分） 已知向量)cos 3,cos (sin x x x m ωωω+=，)sin 2,sin (cos x x x n ωωω-=，（其中

0>ω），函数n m x f ?=)(，若)(x f 相邻两对称轴间的距离为2

π. (I)求ω的值，并求)(x f 的最大值及相应x 的集合； (Ⅱ)在ABC ?中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 所对的边，ABC ?的面积35=S ，b =4，

1)(=A f ，求边a 的长.

18．(本题满分12分)

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=?，12,AB AC AA ===E 是BC 中点. （I ）求证：1//A B 平面1AEC ；

（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满 足11B M C E ⊥，求AM 的长；

（Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.

E C 1B 1A 1C B A

19．(本题满分12分)

交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵.早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．

（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？

（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？ （III ）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．

20．(本题满分12分) 已知椭圆C :22221x y a b

+=(0)a b >>

的离心率e =,原点到过点(,0)A a , (0,)B b -

(Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)若椭圆C 上一动点P ()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,求2211x y + 的

取值范围；

(Ⅲ)如果直线1(0)y kx k

=+≠交椭圆C 于不同的两点E ,F ,且E ,F 都在以B 为圆心的圆上,求k 的值.

21．(本题满分12分)

已知函数f （x ）＝2ln x +ax 2－1（a ∈R ）

(Ⅰ)求函数f （x ）的单调区间；

（Ⅱ）若a ＝1，分别解答下面两题，

（i ）若不等式f （1+x ）+f （1－x ）＜m 对任意的0＜x ＜1恒成立，求m 的取值范围； （ii ）若x 1，x 2是两个不相等的正数，且f （x 1）+f （x 2）＝0，求证x 1+x 2>2.

请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22.(本题满分10分)选修4—1几何证明选讲:

如图，圆1O 与圆2O 相交于A 、B 两点，AB 是圆2O 的直径，过A 点作圆1O 的切线交圆2

O 于点E ，并与BO 1的延长线交于点P ，PB 分别与圆1O 、圆2O 交于 …… 此处隐藏：6311字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……