2011鄂南高中提前班招生数学试卷

2011年咸宁市鄂南高中自主招生邀请赛数学试题 （考试时间：120分钟 试卷总分150分）

第Ⅰ卷（选择。填空题）

一．选择题（每小题5分，共计30分，下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答卷的相应位置）

1.已知y 1且2x y 1，则2x2 16x 3y2的最小值为（ ） A.1927 B.3 C. D.13 27

2.AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，如果AE：CF=3：2.则sinA:sinC等于（ ）

A.3：2 B.2：3 C.9：4 D.4：9

3.关于x的方程ax2且x1 1 x2， (a 2)x 9a 0有两个不等的实数根x1,x2，那么a的取值范围是（ ） 22222A. a B.a C.a D. a 0 577511

4.在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新的盐水，它的浓度为20%，又在新盐水中加入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后，盐的浓度变为33

度为（ ）

A. 23% B. 25% C. 30% D. 32%

5.已知m,n是两个连续自然数（m<n)，且q=mn，设1%，那么原来盐水的浓3p q n q m,则p ( )

A.总是奇数 B.总是偶数

C.有时是奇数有时是偶数 D.有时是有理数有时是无理数

6.P为正三角形ABC内部一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF ⊥ AB于F，则（ ）

A.PA＋PB＋PC的值不变 B.PA·PB·PC的值不变

C.PD＋PE＋PF的值不变 D.PD·PE·PF的值不变

二.填空题（每小题5分，共计50分，请将你的答案填到答题的相应的位置处）

7.若

123321111 5， 7，则 ＿＿＿＿＿＿.

xyzxyzxyz

8.关下x，y的二次式x2 7xy my2 5x 43y 24

可以分解为两个一次因式的乘积，则m的值是＿＿＿＿＿＿.

9.如图ΔABC中，AC>AB，AB=4，AC=x，AD平分

∠BAC，BD⊥AD于D，点E是BC的中点，DE=y，

则y关于x的函数关系式为＿＿＿＿＿＿.

10.袋中装有3个红球，一个白球，它们除了颜色以外

都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中充分

摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率为

＿＿＿＿＿＿.

11.光线如图的角度照射到平面镜上，然后在两平面镜之

间来回反射，已知α=60°，β=50。则γ=＿＿＿. 0

12.在平面直角坐标系中，已知P的坐标（1，0），将其绕 1

着原点按闻逆时针方向旋转30°得到P。延长OP 到P ，使OP =2OP ,再将P 绕原2

点按逆时针方向旋转30º得到P ，延长OP 到P使OP=2OP ,如此继续下去，则点P552010的坐标为＿＿＿＿

13.一圆周上有三点A,B,C,∠A的平分线交边BC于D,交圆于E,已知BC=2，AC=3，AB=4，则AD·DE=＿＿＿

14.在锐角ΔABC中，高BD,CE交于点F，∠A=45°，ΔDEF的面积为5，则ΔBFC的面积为＿＿＿＿＿

15.方程x 2x 1 x 2x 1 x 1的解为＿＿＿＿

16.下列命题：①若x2 2010 2012 1，则x=2011；②若xy<0，且a 2y 1 (x 1)2 0，则a>－1;③若一直角梯形的两条对角线的长分别为9和11，上，下两底长都是整数，则该梯形的高为62：④已知方程ax2 bx c 0(a b c)的一个根为1.另一个根的取值范围 2 a 其中正确的命题的序号为＿＿＿＿

. 1. 2

三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的说明，证明过程和推演步骤）

17.（本小题10分）设abc=1,求abc的值。 ab a 1bc b 1ac c 1

18.（本小题12分）已知ΔABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2 (2k 3)x k2 3k 2 0的两个实数根，第三边长为5.

（1）k为何值时，ΔABC是以BC为斜边的直角三角形

（2）K为何值时，ΔABC是等腰三角形，并求ΔABC的周长

19.（本小题12分）在平行四边形ABCD中，P为CD边上一点，AP与BP分别为∠DAB和∠CBA的平分线

（1）判断ΔAPB是什么三角形，并证明你的结论；

（2）比较DP与PC的大小；

（3）以AB为直径的⊙O交AD于点E，连接BE与AP于F,，若AD=5，AP=8， 求证：ΔAEF∽ΔAPB，并求tan∠AFE的值

20.(本小题12分）已知ΔABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线。B为切点，P为直线AB上一点，过点P做BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F

（1）当点P在线段AB上时，求证：PA·PB=PE·PF

（2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明，否则说明理由：

（3）若AB=4

2，cos∠EBA=1,求⊙O的半径 3

21.（本小题12分）如图所示，已知A，B两点的坐标分别为(28,0),（0，28），动点P从点A开始，在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始，以每秒1个长度单位的速度向上移动（即EF ∥x轴），且分别与y轴，线段AB交于点E，F，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为ts

(1)当t=1s时，求梯形OPFE的面积，t为何值时，梯形OPFE的面积最大？最大面积是多少？

(2)当梯形OPFE的面积等于三角形APF的面积时，求线段PF的长；

(3)设t的值分别取t1,t2时（t1，所对应的三角形分别为ΔAF t2）P和ΔAF2P2，判断11

这两个三角形是否相似，请证明你的结论。

22.（本小题14分）如图，已知点B（-2，0）C（-4，0），过点B,C的⊙M与直线x=-1相切于点A(A在第二象限），点A关于x轴的对称点是A ，直线AA 与x轴相交于点P

（1）求证：点A1在直线MB上

（2）求以M 为顶点且过A1的抛物线的解析式；

（3）设过点A1且平行于x轴的直线与（2）中的抛物线的另一交点为D ，当⊙D与⊙M相切时，求⊙D的半径和切点坐标