中考数学复习几何压轴题

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中考数学复习几何压轴题

1．在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD E (使 BCE ＜180°)，连接AD 、BE ，设直线BE 与AC交于点O. (1)如图①，当AC=BC时，AD :BE 的值为 ；

(2)如图②，当AC=5，BC=4时，求AD :BE 的值； (3)在(2)的条件下，若∠ACB=60°，且E为BC的中点，求△OAB面积的最小值.

图① 图②

答

案

：

1； 1分 （2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB．∴

ECBC

DCACE CBC

．

D CAC

由旋转图形的性质得，EC E C,DC D C,∴∵

ECD E CD

．

即

,∴ ECD ACE E CD ACE ,

BCE ACD ．

∴ BCE ∽ ACD .∴ 4分

AD BE

ACBC

54

．

（3）解：作BM⊥AC于点M，则BM=BC·sin60°=23． ∵E为BC中点，∴CE=

12

BC=2． △CDE旋转时，点E 在以点C为圆心、CE长为半径的圆上运动． ∵CO随着 CBE 的增大而增大，

∴当BE 与⊙C相切时，即 BE C=90°时 CBE 最大，则CO最大．

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∴此时 CBE =30°，CE =

12

BC=2 =CE．

∴点E 在AC上，即点E 与点O重合．∴CO=CE =2． 又∵CO最大时，AO最小，且AO=AC-CO=3． ∴S OAB最小

2．点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作 ABE和 BCF，连接AF，CE．取AF、

12

AO BM 33．

8分

CE的中点M、N，连接BM，BN， MN．

(1)若 ABE和 FBC是等腰直角三角形，且 ABE FBC 900(如图1)，则 MBN

是

三角形．

BN(2)在 ABE和 BCF中，若BA=BE,BC=BF,且 ABE FBC ，(如图2)，则 M

是 三角形，且 MBN .

(3)若将(2)中的 ABE绕点B旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.

（如图2）

C

B

（如图3）

C

B（如图1)

答案：（1）等腰直角 1分

（2）等腰 2分 3分 （3）结论仍然成立 4分 BA BE

证明： 在 ABF和 EBC中， ABF EBC

BF BC

∴△ABF≌△EBC.∴AF=CE. ∠AFB=∠ECB. 5分

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∵M,N分别是AF、CE的中点,∴FM=CN.∴△MFB≌△NCB. ∴BM=BN. ∠MBF=∠NBC. 6分

∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC= . 7分

3．图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C D E 叠放在一起(C与C 重合)．

(1)固定△ABC，将△C D E 绕点C顺时针旋转30 得到△CDE，连结AD、BE(如图2)．此时线段BE与AD有怎样的数量关系？并证明你的结论；

(2)设图2中CE的延长线交AB于F，并将图2中的△CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△QRP(如图3)．设△QRP移动(点若△QRP与△AFC重叠部分的面积为y，求y与xP、Q在线段CF上)的时间为x秒，

之间的函式，并x B

E'

C(C')D'

D

E

C(C')AAA

B

D'N

ME'

C

C'

图1 图2 图3 图4

(3)若固定图1中的△C D E ，将△ABC沿C E 方向平移，使顶点C落在C E 的中点处，再以点C为中心顺时针旋转一定角度，设 ACC 30 90 ，边BC交D E 于点M，边AC交D C 于点N(如图4)．此时线段C N E M的值是否随 的变化而变化？如果没有变化，请你求出C N E M的值；如果有变化，请你说明理由．

答案：（1）BE AD. 1分 证明：如图2，∵△ABC与△DCE都是等边三角形，△C D E 绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，

∴△CDE也是等边三角形，且 2 30 ，

∴ ACB DCE 60 , CA CB,CE CD. 2分

A∴ 1 30 ,∴ 3 30 ,∴ 2 3.∴△BCE≌△ACD， ∴ BE AD. 3分

D

E

23

（2）如图3，设PR、RQ分别与AC交于点O、L.

∵△CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移x秒，

C(C')

图2

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平移后的△CDE为△PQR， CQ x.

由（1）可知 PQR PRQ BCA 60 , BCF 30 ， ACF 30 ，

CLQ RLO 30 . LQ CQ x, ROL 90 . QR 3

, RL 3 x.在Rt△ROL中，OR

12

RL

12

(3 x)，

OL RL cos30

2

(3 x).

S ROL

12

RO OL

8

(3 x). 4分

2

过点R作RK PQ于点K.

2

在Rt△RKQ中， RK RQ sin60 ，

S RPQ

12

PQ RK

48

.

图3

y S RPQ S ROL

x

2

4

x

8

. 5分

BCF 30 , B 60 ， BFC 90 .

当点P与点F重合时，FQ PQ 3，∵CF BC sin60 6，∴CQ 3.

∴此函数自变量x的取值范围是0 x 3 . 6分 （3）C N E M的值不变 . 7分

证明：如图4，由题意知， 5 4 180 ，∴ 120 4，

A

在 CME 中， 6 120 4，∴ 6.

B

'N

又∵ C E 60 ， ∴△E MC∽△C CN，∴

E MC C

E CC N

．

3

E'

4

C

C'

∵点C是C E 的中点，C E 3，∴E C CC

2 图4

，

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3

∴

E M32

，∴C N E M 9． 8分

4C N

4． 以 ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE，

BAD CAE 90 ,连接DE，M、N分别是BC、DE的

中点．探究：AM与DE的位置及数量关系．

(1)如图① 当 ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，

线段AM与DE的数量关系是 ；

(2)将图①中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转 (0< <90)后，如图②所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 答案：（1）AM DE，AM （2）结论仍然成立。

证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连结BF．

12DE

DA BA,EA AF，

BAF 90 DAF EAD．

FA AE

在 FAB与 EAD中： BAF EAD

BA DA

FAB EAD(SAS) . BF=DE, F AEN.

FPD F APE AEN 90. FB DE .

又CA=AF, CM=MB，

AM // FB 且AM=

12

FB， AM DE, AM=

12

DE．

5． (1)如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

12