2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第三章 圆锥

§3双曲线

3．1双曲线及其标准方程

学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．

知识点一双曲线的定义

思考如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？

答案曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．

梳理(1)平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距；

(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点集合是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点集合为空集．

(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的集合只有双曲线的一支．

(4)若常数为零，其余条件不变，则点的集合是线段F1F2的中垂线．

知识点二双曲线的标准方程

思考双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？

答案双曲线标准方程中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．

梳理 (1)双曲线两种形式的标准方程

(2)焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．

1．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(×) 2．平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×) 3．平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)

类型一 双曲线定义的应用

例1 (1)若双曲线E ：x 29－y 2

16＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|

＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5

D ．3

考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 B

解析 由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6， 即|3－|PF 2||＝6，解得|PF 2|＝9(负值舍去)，故选B.

(2)设F 1，F 2分别是双曲线x 2

－y 2

24

＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，

则△PF 1F 2的面积等于( )

A ．4 2

B ．8 3

C ．24

D ．48 考点 双曲线的定义

题点 双曲线定义的应用

答案 C

解析 由题意，得?

???? |PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|， 解得?????

|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. 又由|F 1F 2|＝10，可得△PF 1F 2是直角三角形，

则12PF F S ＝12

×|PF 1|×|PF 2|＝24. 反思与感悟 焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)．

跟踪训练1 在△ABC 中，已知|AB |＝42，A (－22，0)，B (22，0)，且内角A ，B ，C 满

足sin B －sin A ＝12

sin C ，求顶点C 的轨迹方程． 考点 双曲线的定义

题点 双曲线定义的应用

解 由sin B －sin A ＝12

sin C 及正弦定理， 可得b －a ＝c 2

， 从而有|CA |－|CB |＝12

|AB |＝22＜|AB |， 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支．

∵a ＝2，c ＝22，

∴b 2＝c 2－a 2＝6，

∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26

＝1(x ＞2)． 类型二 求双曲线的标准方程

例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程．

(1)焦距为26，且经过点M (0,12)；

(2)双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－42)，????94，5.

考点 双曲线的标准方程的求法

题点 待定系数法求双曲线的标准方程

解 (1)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.

又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25.

∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225

＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，

则????? 9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得??? n ＝116，m ＝－19，

∴双曲线的标准方程为y 216－x 29

＝1. 反思与感悟 待定系数法求方程的步骤

(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴．

(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：

①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)；

②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2

b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)．

(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．

(4)结论：写出双曲线的标准方程．

跟踪训练2 (1)求以椭圆x 216＋y 29

＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；

(2)已知双曲线过P ????3，154，Q ???

?－163，5两点，求双曲线的标准方程． 考点 双曲线的标准方程的求法

题点 待定系数法求双曲线的标准方程

解 (1)由题意，知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)．

设双曲线方程为y 2a 2－x 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 将点A (4，－5)代入双曲线方程，得25a 2－16b 2＝1. 又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4，

所以双曲线的标准方程为y 25－x 24

＝1.

(2)若焦点在x 轴上，

设双曲线的方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 所以??? 9a 2－22516b 2＝1，

2569a 2－25b 2＝1，解得?????

a 2＝－16，

b 2＝－9(舍去)． 若焦点在y 轴上，

设双曲线的方程为y 2a 2－x 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 将P ，Q 两点坐标代入可得??? 22516a 2－9b 2＝1，

25a 2－2569b 2＝1，解得?????

a 2＝9，

b 2＝16， 所以双曲线的标准方程为y 29－x 216

＝1. 综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216

＝1. 类型三 双曲线定义及标准方程的应用

例3 在相距2000m 的两个哨所A ，B ，听到远处传来的炮弹爆炸声．已知当时的声速是330m/s ，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所迟4s ，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．

考点 双曲线的标准方程的求法

题点 定义法求双曲线的标准方程

解 设爆炸点为P ，由已知可得|P A |－|PB |＝330×4＝1 320＞

0.

因为|AB |＝2 000＞1 320，

所以点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的靠近B 处的那一支上，建立如图所示的平面直角坐标系，

使A ，B 两点在x 轴上，以线段AB 的中点为坐标原点．

由2a ＝1 320,2c ＝2 000，得a ＝660，c ＝1 000 …… 此处隐藏：1819字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……