上海市七宝中学2017-2018年高三下开学考试数学试题

2018年七宝中学高三下开学考试卷

一、填空题

1. 向量(3,4)a =r 在向量(1,1)b =-r 方向上的投影为____________．

2. 若椭圆221mx y +=的一个交点与抛物线24y x =的焦点重合，则m =____________．

3. 已知集合{}M x x a =?，{}2,0,1N =-，若{}2,0M N =-I ，

则a 的取值范围是____________． 4. 若无穷等比数列{}n a 的各项和等于q ，则首项1a 的取值范围是____________．

5. 若函数()12f x x x a =+++的最小值是3，则正实数a 的值是____________．

6.

将函数cos ()sin x f x x

=按向量(,0)a m =r 平移（0m >），若所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是____________．

7. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°方向上，行驶600米后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD =____________米．

8. 函数2()4cos cos 2sin ln(1)22

x f x x x x p 骣÷ç=---+÷ç÷ç桫的零点个数为____________． 9. 设{}n a 是等差数列，其首项12a =，公差0d <，{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则d =____________．

10. 已知圆22:1O x y +=，O 为坐标原点，若正方形ABCD 的一边AB 为圆O 的一条弦，则线段OC 长度的最大值是____________． 11. 已知向量a r 、b r 满足2a b a b

==?r r r r ，若向量c r 满足()()0a c b c -?=r r r r ，则2c b -r r 的最大值是____________．

12. 已知函数()s i n f x x p =，若存在12,,,m x x x L 满足120m x x x ?<<L ，且*12231()()()()()()2018,(2,)m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=澄L ，则m m x +

的最小

值为____________．

二、选择题

13.

设集合{{}22(,),(,)1M x y y x N x y x y =>+

=+?，则命题“点P M Δ是命题“点P N Δ的（ ）条件

A. 充分非必要

B. 必要非充分

C. 充要

D. 既非充分也非必要 14. 已知函数(),y f x x R =?，点(,)P a b 是函数()()()F x f x f x =--图像上任意一点，则下列各点中一定在()F x 图像上的是（ ）

A. 1(,)P a b -

B. 2(,)P a b --

C. 3(,)P a b -

D. 3(,)P a b - 15. 已知四个函数：①y x =-；②1y x

=-；③53y x =；④14y x =，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为（ ）

A. 16

B. 13

C. 12

D. 23

16. 定义在区间[1,)+?上的函数()f x 满足：①(2)2()f x f x

=；②当24x ＃时，()13f x x =--，则集合{}()(2035)S x f x f ==中的最小元素是（ ）

A. 13

B. 21

C. 45

D. 51

三、解答题 17. 如图，三棱锥P ABC -中，PA ^平面ABC ，1,2,60PA AB AC BAC

===?o ．

（1）求三棱锥P ABC -的体积； （2）求λ的值，使得λPM MC =uuu r uuu r 且AC BM ⊥．

18. 已知ABC V 顶点坐标分别为(,4),(0,),(,0)A a B b C c ．

（1）若3,0,5a b c ===，求sin A 的值；

（2）若虚数2(0)x ai a =+>是实系数方程250x cx -+=的根，且A ∠是钝角，求b 的取值范围．

19. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 上放置一个边长为1的正方形PABC ，此正方形PABC 沿x 轴滚动（向左或向右均可），滚动开始时，点P 位于原点处，设顶点(,)P x y 的纵坐标与横坐标的函数关系式(),y f x x R =∈，该函数相邻两个邻点之间的距离为m ．

（1）写出m 的值并求出当0x m ≤≤，点P 运动路径的长度l ；

（2）写出函数[](),42,42,y f x x k k k Z =∈-+∈的表达式；并研究该函数除周期外的基本性质（无需证明）．

20. 已知双曲线C

过点(，且渐近线方程为12

y x =±

，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点． （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线l 过原点，点P 是曲线C 上任一点，直线,PM PN 的斜率都存在，记为PM k 、PN k ，试探究PM PN k k ?的值是否与点P 及直线l 有关，并证明你的结论；

（3）若直线l 过点(1,0)，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ?u u u r u u u r 为常数？若存在，求出点Q 坐标及

此常数的值；若不存在，说明理由．

21. 已知数列{}n a 各项不为0，前n 项和为n S ．

（1）若*4,n n S a n N +=∈，求数列{}n a 的通项公式；

（2）在（1）的条件下， 已知2log n n b a =，分别求12*12()()

k n n n k n n n f n a C a C a C a C n N =+++++∈L L 和12*12()()k n n n k n n n g n bC b C b C b C n N =+++++∈L L 的表达式；

（3）证明：{}n a 是等差数列的充要条件是：对任意*n N ∈，都有：

1223111

111n n n n a a a a a a a a +++++=L ．

参考答案

一、填空题

1. 2-

2. 12

3. [0,1)

4. 1(2,0)0,4??- ???U

5. 8

6. 3p

7. 8. 3个 9. 1-

10. 1

11. 1 12. 1011 二、选择题

13. A 14. B

15. C 16. C 三、解答题

17. （1

（2）1λ2= 18. （1

）sin 5A =； （2）131643b b b ??>≠???

?且 19. （1

）4,12m l p ?

==+

??； （2

）函数4241414()4414142

k x k k x k f x k x k k x k -≤≤-?-≤≤?=?≤≤+?+≤≤+，k Z ∈ 奇偶性：偶函数；递增区间：[]4,42,k k k Z +∈；递减区间[]42,4,k k k Z -∈；零点：4,x k k Z =∈

20. 略

21. 略