离散模型 《数学模型》(第三版)电子课件姜启源、谢金星、叶 俊

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第八章

离散模型

8.1 层次分析模型 8.3 社会经济系统的冲量过程

8.4

效益的合理分配

y

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离散模型 离散模型：差分方程(第7章)、整数规划(第4章)、图论、对策 论、网络流、… … 分析社会经济系统的有力工具

只用到代数、集合及图论(少许)的知识

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8.1 层次分析模型背 景 日常工作、生活中的决策问题

涉及经济、社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当 大的作用，各因素的重要性难以量化 Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) AHP——一种定性与定量相结合的、 系统化、层次化的分析方法

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一. 层次分析法的基本步骤例. 选择旅游地目标层

如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.O(选择旅游地)

准则层

C1 景色

C2 费用

C3 居住

C4 饮食

C5 旅途

方案层

P1 桂林

P2 黄山

P3 北戴河

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―选择旅游地”思维过程的归 纳 将决策问题分为3个层次：目标层O,准则层C, 方案层P;每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 案对每一准则的权重。 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。

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层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度

设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性

Ci : C j aij选 择 旅 游 地 1 2 A 1/ 4 1/ 3 1/ 3

1 A (aij ) n n , aij 0, a ji aij1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3

3 5 5 A~成对比较阵 1 / 2 1 / 3 A是正互反阵 1 1 1 1

要由A确定C1,… , Cn对O的权向量

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成对比较阵和权向量 成对比较的不一致情况

1 A 2

1/ 2 1

4 7

a12 1/ 2 (C1 : C2 )a13 4 (C1 : C3 )

一致比较

不一致

a23 8 (C2 : C3 )w1 w2 w2 w2 wn w2 w1 wn w2 wn wn wn

允许不一致，但要确定不一致的允许范围 w1 考察完全一致的情况 w 1 W ( 1) w1 , w2 , wn w2 A w1 令aij wi / w j T w (w1 , w2 , wn ) ~ 权向量 wn w1

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成对比较阵和权向量 成对比较完全一致的情况

满足 aij a jk aik , i, j, k 1,2, , n 的正互反阵A称一致阵，如 一致阵 性质

w1 w 1 w2 A w1 wn w1

w1 w2 w2 w2 wn w2

w1 wn w2 wn wn wn

A的秩为1,A的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于n 的特

征向量 A的归一化特征向量可作为权向量

对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A,建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量w ,即

Aw w

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成对比较阵和权向量 比较尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值 1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9

便于定性到定量的转化：尺度

a ij

1 相同

2

3 稍强

4

5 强

6

7

8

9 绝对强

Ci : C j的重要性

明显强

aij = 1,1/2, ,…1/9 ~ Ci : C j 的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优。

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一致性检验

对A确定不一致的允许范围

已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵 定义一致性指标: CI

n CI 越大，不一致越严重n 1

为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模 拟得到aij , 形成A,计算CI 即得RI。 Saaty的结果如下n RI 1 2 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 3 4 5 6 7 8 9

定义一致性比率 CR = CI/RI

当CR<0.1时，通过一致性检验

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“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验 最大特征根 =5.073

准则层对目标的成对比较阵 1 2 A 1/ 4 1/ 3 1/ 3 1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 5 1 / 2 1 / 3 1 1 1 1 3

权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T

一致性指标 CI 5.073 5 0.018 5 1随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1 通过一致 性检验

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组合权向量

记第2层(准则)对第1层(目标) ( 2) ( 2) ( 2) T 的权向量为 w ( w1 , , wn )方案层对C2(费用) 的成对比较阵 1 1/ 3 1/ 8 B2 3 1 1 / 3 8 3 1

同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量 方案层对C1(景色) 的成对比较阵 1 B1 1 / 2 1 / 5 2 1 1/ 2 5 2 1

…Cn

…Bn … n

最大特征根 1

2w2(3)

权向量

w1(3)

… wn(3)

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组合权向量k 1

第3层对第2层的计算结果 2 3 4 5

w

( 3) k

0.595 0.277 0.1293.005 0.003

0.082 0.236 0.6823.002 0.001

0.429 0.429 0.1423 0

0.633 0.193 0.1753.009 0.005

0.166 0.166 0.6683 0

kCI k

w(2) 0.263 0.475 0.055 0.090 0.110

RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验方案P1对目标的组合权重为0.595 0.263+ …=0.300

方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T

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组合 权向量

第2层对第1层的权向量

第1层O第2层C1,…Cn 第3层P1, …Pm

w (w , , w )( 2) ( 2) 1

( 2) T n

第3层对第2层各元素的权向量

(3 wk( 3) (wk( 3) , , wkm) )T , k 1

,2, , n 1

构造矩阵

W

( 3)

[ w , , w ]( 3) 1 ( 3) n

则第3层对第1层的组合权向量 第s层对第1层的组合权向量

w W w( 3) ( 3)

( 2)

w W W(s) (s)

( s 1)

W w( 3)

( 2)

其中W(p)是由第p层对第 p-1层权向量组成的矩阵

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