2015-2016学年高中数学 第一章 导数及其应用 3.1 导数与函数的单

3.3.1 导数与函数的 单调性

本课时要求学生理解函数单调性与导数的关系，会求函数的单调 区间，而这种关系的基本思想是数形结合。由于学生刚刚接触导数 的应用，所以他们在利用导数研究函数的单调性、求单调区间的水 平上都还有一定的差距。 学生已有的基础是基本初等函数的图像和性质，之前又学习了导 数的概念、计算、几何意义等内容。所以，在知识储备方面，学生 已经具备足够的认知基础，因此要充分利用这些基础，本节课的教 学思路是由“形”到“数”,再由“数”到“形”的数形结合思想 。综上，本节课的教学重点是：利用导数判断函数的单调性，会求 函数的单调区间；教学难点是：探索函数单调性与导数的关系.

问题1.函数单调性的定义是什么？一般地，在给定区间上任取两个自变量 x1 , x 2 ,当 x1 x 2 时， 若 f ( x1 ) f ( x2 ) ,则 f(x)在这个区间上单调递增. 若 f ( x1 ) f ( x2 ) ,则 f (x)在这个区间上单调递减.

问题2.导数的定义与几何意义是什么.

y f ( x x) f ( x) f '( x)= lim lim x 0 x x 0 x几何意义：函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f (x0), 就是曲线y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率.

如何确定函数 f ( x) 2x3 3x2 36x 16 在哪个区间上 单调递增，哪个区间上单调递减？

用定义法判断函数单调性的步骤： (1)在给定区间内任取x1<x2; (2)作差f(x1)-f(x2);

(3)变形;(4)判断符号;

(5)下结论。

如何确定函数 f ( x) 2x3 3x2 36x 16 在哪个区间上 单调递增，哪个区间上单调递减？

用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分 麻烦，是否有更为简捷的方法呢？

问题1.函数单调性的定义是什么？一般地，在给定区间上任取两个自变量 x1 , x 2 ,当 x1 x 2 时， 若 f ( x1 ) f ( x2 ) ,则 f(x)在这个区间上单调递增. 若 f ( x1 ) f ( x2 ) ,则 f (x)在这个区间上单调递减.

问题2.导数的定义与几何意义是什么.

y f ( x x) f ( x) f '( x)= lim lim x 0 x x 0 x几何意义：函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f (x0), 就是曲线y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率.

如何确定函数 f ( x) 2x3 3x2 36x 16 在哪个区间上 单调递增，哪个区间上单调递减？

用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分 麻烦，是否有更为简捷的方法呢？

于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？

下面我们就研究单调性与导数有什么关系?

(1)自主探究，大胆猜想分析下列函数的单调性与其导数正负的关系并完成下表：y

y=xx

y

y=2x x

O

O

y 1 y=( )x 2 x OO

y

y=

1 x x

(2)追踪成

果，深入探究观察函数 y x 2 4x 3的图像，分析函数单调性与其导数正负的关系

(3)深入思考，揭示本质问题 1: 我们回到单调性定义， 以增函数为例， 观察 x1 x2 ,

f ( x1 ) f ( x2 ) 的正负符号，如何用数学式子表示？同号，可以用 ( f ( x1 ) f ( x2 ))(x1 x2 ) 0 表示.

问题2:还可以用其他方法表示吗？ f ( x1 ) f ( x2 ) 0 x1 x2 问题3:结合上一章的变化率，观察这个式子和变化率有什 么联系呢？

y 0 ,就是区间内任取两点的平均变化率大 平均变化率 x于零，也就是割线斜率大于 0.

(3)深入思考，揭示本质问题4:既然是“任取”,那么我们干脆把两个点无限靠近，大家觉得可以得到什么. 瞬时变化率，就是某点切线的斜率，也就是区间内任意一点

处的导数都大于零.f ( x1 ) f ( x2 ) 0 f '( x) 0 f ( x)为增函数 x1 x2

几何画板演示

1. 函数单调性与其导数正负的关系：

设函数f ( x )在定义域内的某个区间(a, b)上可导,f '( x ) 0 f ( x )在(a, b)内单调递增,

f '( x ) 0 f ( x )在(a, b)内单调递减

如果在某个区间内恒有 f '( x ) 0,则 f ( x ) 是什么函数？ 函数 f ( x )为常函数.

ln x 例 1、证明：函数 f(x)= x 在区间(0,e)上单调递增.[思路点拨] 利用函数单调性与导数间的关系进行判断. 1 x· -ln x 1-ln x x ln x 证明 ∵f(x)= ,∴f′(x)= = 2 . x x2 x

又 0<x<e,∴ln x<ln e=1. 1-ln x ∴f′(x)= x2 >0, 故 f(x)在区间(0,e)上是单调递增函数.

例 2、求函数 f ( x) 2 x3 3x 2 36 x 16 的单调区间.思路点拨：先求函数定义域 求导 令 f '( x ) 0 ,得函数增区间； 令 f '( x ) 0 ,得函数减区间 写出结论

例 2、求函数 f ( x) 2 x3 3x 2 36 x 16 的单调区间.解：由导数公式表和求导法则可得

f '( x) 6x2 6x 36 6( x 2)( x 3)当 x ( , 2)或x (3, ) 时， f '( x) 0 , 因此，在这两个区间上，函数是增加的； 当 x ( 2, 3) 时， f '( x) 0 , 因此，在这个区间上，函数是减少的. 所以，函数 f ( x) 2x 3x 36x 16 的递增区间为 ( , 2)和(3, ) ,3 2

递减区间为 ( 2, 3)

练习：求下列函数的单调区间.

(1) f ( x) x ln x (2) f ( x) e x x 1