安徽省2013年高二优质数学同步课程课件：《双曲线的简单性质》(

理解教材 新知§3

知识点

第 三 章

考点一 把握热点 考向 考点二 考点三 应用创新演练

3.2

如图是阿联酋阿布扎比国家展览中心

(ADNEC).阿布扎比是阿联酋的首都，这个双曲线塔形建筑是中东最大的展览中心. 它的形状就像一条双曲线. 这是双曲线在建筑学上的应用，要想让双曲线更多更 好的为生活、工作所应用，我们必须研究双曲线的性质.

问题1:双曲线的对称轴、对称中心是什么？ 提示：坐标轴 原点.

问题2:双曲线的离心率越大，双曲线就越开阔吗？b 提示：是.离心率越大，a越大，双曲线就越开阔.

双曲线的性质

标准方程

x2 y2 a2-b2=1(a>0,b>0)

y2 x2 a2-b2=1(a>0,b>0)

图像

标准方程 焦点

-=1(a>0,b>0) F1(-c,0),F2(c,0)

-=1(a>0,b>0) F1(0,-c),F2(0,c)

焦距范围 性 质 顶点 对称性 轴长*渐近线

|F1F2|=2c x≥a或x≤-a,y∈R (-a,0),(a,0)

y≥a或y≤-a,x∈R(0,-a),(0,a)

对称轴： x轴、y轴 、对称中心：坐标原点 实轴长= 2a ,虚轴长= 2b x y b x y a a± =0或y=± x b a b± =0或y=± x a b e=(e>1)

离心率

1椭圆有四个顶点，而双曲线有两个顶点. x2 y2 2.双曲线有两条渐近线，双曲线 a2 - b2 =1的渐近线方 x2 y2 程为a2-b2=0(a>0,b>0). 3.双曲线的中心、虚轴的一个端点和实轴的一个端点 构成一个直角三角形，这个直角三角形的三边满足关系式c2 =a2+b2.

[例1]

求双曲线4x2-y2=4的顶点坐标、焦点坐标、

实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程. [思路点拨] 研究其性质. 先将双曲线的形式化为标准方程，再

[精解详析] y2 - 4 =1,

将双曲线方程4x2-y2=4化为标准方程x2

∴a=1,b=2,∴c= 5. 因此顶点为A1(-1,0),A2(1,0);焦点为F1(- 5 ,0), F2( 5,0); 实半轴长是a=1,虚半轴长是b=2; c 5 离心率e=a= 1 = 5; b 渐近线方程为y=± x=± 2x. a

[一点通]

由双曲线的标准方程，求双曲线的有关

x2 y2 性质的步骤是：先将双曲线方程化为标准形式 a2 - b2 = y2 x2 1 或a2-b2=1 ,再确定a,b的值(注意它们的分母分别为

a2,b2,而不是a,b),进而求出c,再对照双曲线的几何 性质得到相应的答案.

x2 y2 1.已知双曲线 - 2=1(b>0)的实轴的一个端点为 A1,虚轴的 16 b 一个端点为 B1,且|A1B1|=5,则双曲线的方程是 x2 y2 A. - =1 16 25 x2 y2 B. - =-1 16 25 ( )

x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =-1 16 9 16 9 解析：由双曲线方程知A1(4,0),B1(0,b),由|A1B1|=5得42+b2=25,∴b=3. x2 y2 故双曲线方程为：16- 9 =1. 答案：C

2.求双曲线16x2-9y2=-144的实半轴长、虚半轴长、 焦点坐标、离心率和渐近线方程.

y2 x2 解：把方程化为16- 9 =1,∴a=4,b=3,c=5. ∴实半轴长a=4,虚半轴长b=3, c 5 焦点坐标(0,-5),(0,5);离心率e=a=4, 4 渐近线方程为y=± x. 3

[例 2]

求适合下列条件的双曲线的标准方程.

5 (1)实轴长为 16,离心率为 ； 4 (2)双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0).

[思路点拨]

由双曲线的几何性质，列出关于a、b、c

的方程，求出a、b、c的值.