第一部分 专题五 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 专题训练

二轮复习专题

第一部分 专题五 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线

(限时60分钟，满分100分)

一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分) 3

1．下列双曲线中，离心率为的是( )

2x22

A.－y＝1 2x2y2

C.－＝1 45

y2

B．x－＝1

2

2

x2y2

D.＝1

54

c36

解析：选项A，a＝2，b＝1，ca＋b＝3，所以e＝＝＝；选项B，a＝1，

a22c

b＝2，c＝a＋b3，所以e＝a3；选项C，a＝2，b＝5，c＝a＋b＝3，所以c3c35e＝a；选项D，a＝5，b＝2，c＝a＋b＝3，所以e＝a25

答案：C

2．(2010·陕西高考)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )

1 2C．2

B．1 D．4

p

解析：由已知，可知抛物线的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切．圆心为(3,0)，半

2p

径为4，圆心到直线的距离d＝3＝4，解得p＝2.

2

答案：C

x2y2

3．过椭圆1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，

ab若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )

2

2

B.33

1 21D. 3

b2b2

解析：由题意知点P的坐标为(－ca)或(－c，－a， ∵∠F1PF2＝60°，

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2c

∴＝3，即2ac＝3b2＝3(a2－c2)． ba∴3e2＋2e－3＝0，∴e＝答案：B

y2

4．(2010·海淀模拟)已知双曲线x－1，那么它的焦点到渐近线的距离为( )

3

2

3

或e＝－3(舍去)． 3

A．1

3

D．4

C．3

解析：依题意得，双曲线的右焦点坐标是(2,0)，一条渐近线方程是y＝3x，即3x－y＝0，因此焦点到渐近线的距离为

答案：B

x2y25

5．P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，

ab4

3.

3 2＋123

且PF1·PF2＝0，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于( )

A．4 C．6

B．7 D．5

c

解析：设|PF1|＝x，|PF2|＝y，则xy＝18，x2＋y2＝4c2，故4a2＝(x－y)2＝4c2－36，又＝

a5

c＝5，a＝4，b＝3，得a＋b＝7. 4

答案：B

6．(2010·皖南八校模拟)已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，7

点A(，4)，则|PA|＋d的最小值是( )

2

7 29 2

B．4 D．5

17

解析：设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F0)．又点A(，4)在抛物线的外侧，且点

22P到准线的距离为d，所以d＝|PF|，则|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5.

答案：D

二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)

7．已知以坐标原点为顶点的抛物线C，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A、B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．

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解析：由题意知，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，所以可设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)．

2 y＝ax

将直线方程和抛物线方程联立 ，得：x2－ax＝0，解得x1＝0，x2＝a，故AB

y＝x

111

中点的横坐标为x0＝x1＋x2)＝2，解得a＝4.所以该抛物线的方程为

222y2＝4x.

答案：y2＝4x

x2y2

8．(2010·上海春招)1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个

2516焦点F2的距离是____________________________________________________．

解析：由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以点P到其另一个焦点F2的距离为 |PF2|＝2a－|PF1|＝10－6＝4.

答案：4

81

9．经过点M(10，)，渐近线方程为y＝的双曲线的方程为________．

338

解析：设双曲线方程为x2－9y2＝λ，代入点(10，)

3∴λ＝36

x2y2

∴双曲线方程为－＝1.

364x2y2

答案：－＝1

364

三、解答题(本大题共3个小题，共46分)

x2y21

10．(本小题满分15分)(2010·济南模拟)已知椭圆C＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，

ab2且椭圆经过点N(2，－3)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)求椭圆以M(－1,2)为中点的弦所在直线的方程． 解：(1)由椭圆经过点N(2，－3)， 22 －3

得1， ab

c1

又e＝＝a2＝16，b2＝12.

a2x2y2

所以椭圆C的方程为＋＝1.

1612

(2)显然M在椭圆内，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是以M为中点的弦的两个端点，

2xy2x2y2则＋＝1，＋＝1. 16121612

2

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x－x x＋x y－y y＋y

＋＝0.

1612整理得：kAB＝－19＝0.

11．(本小题满分15分)(2010·湖南十二校联考)设抛物线y2＝4x的准线与x轴交于点F′，其焦点为点F，轨迹C是以F′，F为焦点，离心率e为k的直线l与轨迹C有两个不同的交点P和Q.

(1)求轨迹C的方程；

(2)设轨迹C与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向

2

的椭圆．经过点(02)且斜率2

12· x1＋x2 33

＝，则所求直线的方程为：y－2＝(x＋1)，即：3x－8y＋

816· y1＋y2 8

量OP＋OQ与AB共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

解：(1)依题意可知椭圆的焦距为2故可得椭圆的方程为：

x22

y＝1. 2

x2

(2)由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋2，代入椭圆的方程得＋(kx＋2)2＝1.

21

＋k2)x2＋2kx＋1＝0. ①

2因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q， 1

所以Δ＝8k2－4(k2)＝4k2－2＞0，

2解得k＜－

22或k＞22

22

∪(，＋∞)． 22

2

，所以c＝1，a2，b＝1，2

即k的取值范围为(－∞，－

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP＋OQ＝(x1＋x2，y1＋y2)

42k

由方程①得x1＋x2＝－. ②

1＋2k又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋22， ③

而A2，0)，B(0,1)，AB＝(2，1)，

所以OP＋OQ与AB共线等价于

x1＋x2＝－2(y1＋y2)， 将②③代入上式，解得k＝

22

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又k22

或k＞，故不存在符合题意的常数k. 22

x2y2

12．(本小题满分16分)(2010·惠州模拟)设F1、F2分别是椭圆C：1(a＞b＞0)

ab的左右焦点．

3

(1)设椭圆C上点3到两点F1、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

2(2)设点K是椭圆C上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程；

(3)设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，试探究kPM·kPN的值是否与点P及直线l有关，不必证明你的结论．

3

2233

解：(1)由于点(3，在椭圆上，得1，

2ab

2

x2y2

又2a＝4，所以椭圆C的方程为1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．

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