标准正交化与矩阵的UR分解_奚传智

标准正交化与矩阵的UR分解

烟台师范学院学报(自然科学版)

Yantai

TeachersUniversityJournal(NaturalScience)教学研究

2000,16(2):146-149

标准正交化与矩阵的UR分解

奚　传　智

(枣庄师专数学系,山东枣庄277160)

摘要:给出了一种既能将向量组标准正交化又同时能求出矩阵的UR分解的方法.关键词:标准正交化;正上阵;UR分解

中图分类号:O151.21　　文献标识码:A　　文章编号:1004-4930(2000)02-0146-04

m

　　设V是基域为F(实数域或复数域)的内积空间,Ti∈F(i=1,2,…,n),且T1,T2,…,

Tn线性无关.文[1]给出了利用矩阵的合同变换求标准正交基的方法.由Gram-Schmidt标准正交化过程知,一定有主对角元全为正数的上三角阵(简称正上阵)R,使(U1,U2,…,Un)=(T1,T2,…,Tn)R且U1,U2,…,Un是标准正交向量组,称R为正上变换阵.记A=(T1,T2,…,Tn),U=(U1,U2,…,Un),则U=AR.对于F上的任意一个列满秩阵A,本文给出了一个同时能求出U与R的具体方法,从而,不但实现了上述向量组的标准正交化,而且也同时解决了矩阵的UR分解问题.　　我们约定,Fr

[2]

m×n

表示F上的全体秩为r的m×n阵,A表示矩阵A的转置共轭.

m×n

*

　　引理1　设B∈Fn,则BB一定是厄米特正定阵.

*

　　引理2　厄米特矩阵为正定阵的充要条件是它的一切主子式都是正数.

*

　　引理3[2]　若A是正定阵,Q是满秩阵,则QAQ必为正定阵.

　　定理1　设A为n级厄米特正定阵,则一定有第三种初等阵Tij(k)(i<j)的乘积阵

d1

P,使AP=

d2*

dn

0(i=1,2,…,n).

　　证明　由引理2知,厄米特正定阵A的主对角元必为正数,故A可经过一系列第三

d1

种初等列变换Tij(k)(i<j)化为

d2*

d.由初等阵与初等变换的关系知,一定

(下三角阵)且满足P*AP=

d1

d2

dn

,其中di>

　　收稿日期:2000-03-26

　　作者简介:奚传智(1955—),男,副教授,大学本科,从事矩阵理论研究.

标准正交化与矩阵的UR分解

第2期奚传智:标准正交化与矩阵的UR分解

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d1

有第三种初等阵Tij(k)(i<j)的乘积阵P,使AP=

*

*

*

d2*

.又A是厄米特

dn

阵,故A=A,从而PAP是厄米特阵.而P是Tji(k)(i<j)型初等阵之积,由矩阵的初等阵与初等变换的关系知,P*左乘AP时不改变AP的主对角元及其以上的元素,从而

d1

必有P*AP=

d2

.而A是正定阵,故由引理3知,

d1

d2

dn

AAI,则

*

亦为

dn

正定阵.于是,di>0(i=1,2,…,n).

×n

　　定理2　设A∈Fmn,作矩阵G=

A

　　(i)GTij(k)(i<j)化为

d1

d2

N=

*

dn

PAP

　　(ii)R=Pdiag(标准正交向量组.

　　证明　因A为列满秩阵,故由引理1,AA.由定理1知,有第三类初

d1等阵Tij(k)(i<j)的乘积阵P,使AAP=

*

*

,

　di>0(i=1,2,…,n);

,…,d1)必为正上阵,且**

RAAR=I,U=AR的列向量组是

dn

d2*

.由初等变换与初等阵的关

dn

系知,G总可经过一些第三种初等列变换Tij(k)(i<j)化为N的形式.由定理1知,di>0(i=1,2,…,n).

由于P是一系列第三类初等阵Tij(k)(i<j)的乘积阵,

故P为主对角元

全为1的上三角阵.令R=Pdiag(,…,),即R是将上三角阵P的第i列乘以

d1dn

(i=1,2,…,n)后而得到的矩阵,故R仍为正上阵.di

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烟台师范学院学报(自然科学版)第16卷　

d1

RAAP=

*

*

d1

dn

PAAP

*

*

dn=

d1

dn

d1

d2

dn

d1

dn

4

=I,

而U*U=(AR)*(AR)=R*A*AR=I,故U的列向量组是标准正交向量组.

　　例　T1=(1,0,0,1),T2=(0,2,1,0),T3=(1,0,-

1,0)是R中的一组向量,将T1,T2,3标准正交化,并求出正上变换阵.

T

1

001

2

A′0

11

I

=

001001

于是

1R=

00

210

51

2

5

=

200

050

266513

,

05-10100210

-

-T13(

-1)2

　　解　T1,T2

,T3线性无关,令A=

202

1-,　则A′A=

-3-11

--1T23(-

20052

-,0

13112051-1

1-1

051-110

01001

0100210

1)5

1001001

0-11002

.

A

1-40-1

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第2期奚传智:标准正交化与矩阵的UR分解

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10U=

01

210

2552

2

5

,0,0,2

=

2002

0550

2665

6526

.

所求的标准正交组为U1=(),U2=(0,,25,0),U3=(5,26

,,),正上变换阵为上述的.

R656526

参考文献:

[1]　李宗胜.标准正交基的一种求法〔J〕.数学通报,1991,(3):29—30.[2]　张远达.线性代数原理〔M〕.上海:上海教育出版社,1980.297—298,309.

OrthonormalizationandURdecompositionofmatrices

XI　Chuan-zhi

(DepartmentofMathematics,ZaozhuangNormalCollege,Zaozhuang277160,China)

:AmethedwhichcannotonlyorthonormalizethevectorsetbutalsogiveURAbstract

decompositonofmatricesisobtained.

Keywords:orthonormalization;positiveuppermatrix;URdecomposition

(责任编辑　闫冬春)