129123069167656250第6节 条件概率·概率乘法定理

概率论

第一章 随机事件及其概率条件概率·概率乘法定理 §1.6 条件概率·概率乘法定理

概率论与数理统计教程(第四版)

目录

上一页

下一页

返回

结束

概率论

§1.6

条件概率·概率乘法定理

1.条件概率 1.条件概率条件概率的定义事件 A 发生的概率， 在事件 B已经发生的条件下，

称为事件 A 在事件 B已发生的条件下的 条件概率 .记作： P ( A B ). 一般，P ( A) ≠ P ( A B ).

概率论与数理统计教程(第四版)

目录

上一页

下一页

返回

结束

概率论

§1.6

条件概率·概率乘法定理

[例1] 甲、乙两条生产线生产同一种元件,已知甲生产 例 线生产的8个元件中有2个次品,乙生产线生产的9个元 件中有1个次品.现从全部17个元件中任取1个元件.求： ① 这个元件是甲生产线生产的次品的概率； ② 若已知这个元件是次品,它是甲生产线的产品 的概率. 解：设 A : 这个元件是甲生产线的产品， B : 这个元件 P 是次品， P ( A) = 8 17, ( B ) = 3 17 . 则 ② P ( A B ) = 2 3. ① P ( AB ) = 2 17 ;2 P( AB) . P( AB) = = 3 P(B)概率论与数理统计教程(第四版)目录 上一页 下一页 返回 结束

概率论

§1.6

条件概率·概率乘法定理

[定理 定理1] 设事件 B 的概率 P ( B ) > 0, 则在事件 B 已经 定理 发生的条件下事件 A 的条件概率等于事件 AB 的概率 除以事件 B 的概率所得的商：P( AB) P( AB) = . P(B)B

A

证： 用古典概型证明. 设样本空间 含有N 个等 可能的基本事件， 事件 A包含 M 个基本事件，事件 B 1 包含 M 2 个基本事件， 则M1 M2 P( A) = , P( B) = . N N概率论与数理统计教程(第四版)目录 上一页 下一页 返回 结束

概率论

§1.6

条件概率·概率乘法定理

则 设 AB 包含 M 个基本事件，M P ( AB ) = . N

BA

在事件 B 已发生的条件下，原样本空间 缩减为样 本空间 B : B = {ω ω ∈ B, ω ∈ }= B,于是 B 中有且仅有 M 2 个基本事件， 这时事件 A 所包 含的基本事件有且仅有 M 个，即 AB 所包含的那些基 本事件，于是 M M P ( AB ) = N = . P( A B) = P(B) M2 M2N概率论与数理统计教程(第四版)目录 上一页 下一页 返回 结束

概率论

§1.6

条件概率·概率乘法定理

同理可证

若 P( A) > 0, 则

P( AB) P(B A) = . P( A)

概率论与数理统计教程(第四版)

目录

上一页

下一页

返回

结束

概率论

§1.6

条件概率·概率乘法定理

[例2] 从装有3个白球2个黑球的袋中无放回连取2个球， 例 设 A = {第1次取得白球 }, B = {第2次取得黑球 }. 求：

P ( A); P ( B ); P ( AB ); P ( B A); P ( A B ).3 解： P ( A) = ; 51 6 3 C3C2 = = 0.3; P ( AB ) = 1 1 = C5C4 20 10 P ( AB ) 3 10 1 P ( B A) = = = ; P ( A) 35 2

2 P ( B ) = ; (抽签次序无关性) 5 1

P ( AB ) 3 10 3 P( A B) = = = . P( B) 25 4概率论与数理统计教程(第四版

)目录 上一页 下一页 返回 结束

概率论

§1.6

条件概率·概率乘法定理

2.概率乘法定理 2.概率乘法定理[定理2] 二事件的交的概率等于其中一事件的概率 定理 ] 与另一事件在前一事件已发生的条件下的条件概率 的乘积： P( AB) = P( A)P(B A) = P(B)P( AB). [定理3] 有限个事件的交的概率等于这些事件的概 定理 ] 率的乘积，其中每一事件的概率是在它前面的一切 事件都已发生的条件下的条件概率：

P( A A A ) 1 2 n

= P( A )P( A A ) P( A A A ) P( A A A A 1). 1 2 1 3 1 2 n 1 2 n概率论与数理统计教程(第四版)目录 上一页 下一页 返回 结束

概率论

§1.6

条件概率·概率乘法定理

[例3] 一批零件共100个,次品率为10%,每次从中任 例 取1个零件,取出的零件不放回.求以下概率： ⑴ A : 第三次取得合格品； ⑵ B : 前三次都取得合格品； ⑶ C : 第三次才取得合格品； ⑷ D : 在三次内取得合格品. 解：⑴ P ( A) = 0.9 (抽签次序无关性). ⑵ 设 Ai = { 第 i 次取得合格品} ( i = 1,2,3), 则 B = A1 A2 A3 , 于是，P ( B ) = P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )90 89 88 = ≈ 0 .7265 . 100 99 98概率论与数理统计教程(第四版)目录 上一页 下一页 返回 结束

概率论

§1.6

条件概率·概率乘法定理

⑶

C = A1 A2 A3 ,10 9 90 ≈ 0.0083 . = 100 99 98

P (C ) = P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )

⑷

D = A1 ∪ A2 ∪ A3 , D = A1 A2 A3 ,10 9 8 = ≈ 0.0007 , 100 99 98

P ( D ) = P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )

故

P( D) = 1 0.0007 ≈ 0.9993.概率论与数理统计教程(第四版)目录 上一页 下一页 返回 结束

概率论

§1.6

条件概率·概率乘法定理

小 结1. 条件概率的意义. 2. 乘法定理的本质是,将复杂事件分解成几个简单 事件的交,从而将复杂事件的概率计算转化为简单事 件概率的计算.

概率论与数理统计教程(第四版)

目录

上一页

下一页

返回

结束

概率论

§1.6

条件概率·概率乘法定理

思考题设 P ( A) = 0.10 , P ( B A) = 0.90 , P( B A ) = 0.20 , 求 P( A B) .

解：

P ( B ) = P ( AB + AB) = P ( AB) + P ( AB ) ,

= P ( A) P ( B A) + P ( A) P( B A)= 0.10 × 0.90 + (1 0.10) × 0.20 = 0.27 .

于是

P ( AB ) P ( A) P ( B A) P( A B) = = P( B) P( B) 0.10 × 0.90 1 = = . 0.27 3目录 上一页 下一页 返回 结束

概率论与数理统计教程(第四版)