等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点

一、等差等比数列基础知识点

（一）知识归纳： 1．概念与公式：

①等差数列：1°.定义：若数列{an}满足an 1 an d(常数),则{an}称等差数列；

2°.通项公式：an a1 (n 1)d ak (n k)d; 3°.前n项和公式：公式：Sn

n(a1 an)n(n 1)

na1 d. 22

②等比数列：1°.定义若数列{an}满足2°.通项公式：an a1qn 1 akqn k;

an 1

，则{an}称等比数列； q（常数）

an

a1 anqa1(1 qn)

3°.前n项和公式：Sn (q 1),当q=1时Sn na1.

1 q1 q

2．简单性质：

①首尾项性质：设数列{an}:a1,a2,a3, ,an,

1°.若{an}是等差数列，则a1 an a2 an 1 a3 an 2 ; 2°.若{an}是等比数列，则a1 an a2 an 1 a3 an 2 . ②中项及性质：

1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且A

a b

; 2

2°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且G ab. ③下标和性质：

设p、q、r、s为正整数，且p q r s, 1°. 若{an}是等差数列，则ap aq ar as; 2°. 若{an}是等比数列，则ap aq ar as; ④片段和性质（顺次n项和性质）：

1°.若{an}是公差为d的等差数列，则

a, a, a

k

k

k 1

k n 12n

k 2n 1

3n

n

k

k

n2n3n

k

组成公差为n2d的等差数列；

2°. 若{an}是公差为q的等比数列，则偶数时这个结论不成立）

a, a, a

k 1

k n 1

k 2n 1

k

组成公差为qn的等比数列.（注意：当q=－1，n为

⑤若{an}是等比数列，

则顺次n项的乘积：a1a2 an,an 1an 2 a2n,a2n 1a2n 2 a3n组成公比这q的等比数列. ⑥若{an}是公差为d的等差数列,

1°.若n为奇数，则Sn na中且S奇 S偶 a中(注:a中指中项,即a中 an 1,而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶

2

n2

数项的和）；

2°.若n为偶数，则S偶 S奇

nd

. 2

（二）学习要点：

1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.

2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.

3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或

a

，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为q

“a,a m,a 2m,a 3m(或a 3m,a m,a m,a 3m);”④四数成等比数列，可设四数为“a,aq,aq,aq(或

2

3

aa3

, ,aq, aq),”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. 3

qq

[例1]解答下述问题：

111

,,成等差数列，求证： abc

b cc aa b

,,（1）成等差数列； abcbbb

（2）a , ,c 成等比数列.

222

（Ⅰ）已知

[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，

112a c2① ), 2ac b(a cacbacb②

22

b ca bbc c a abb(a c) a2 c2

(1)

acacac2(a c)22(a c) .b(a c)b

b cc aa b ,,成等差数列;

abcbbbb2b

(2)(a )(c ) ac (a c) ( )2,

22242bbb

a , ,c 成等比数列.

222

[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.

① （Ⅱ）等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为

2，求项数n. ②

[解析]设公比为q,

n 12

a1a3a5 an1024

42

a2a4 an 12

a1 q

42(1)

35252

而a1a2a3 an 1024 2 2 (a1 q

n 1

n2

35

2

a1 q

n

352

1 2 3

(n 1) 2

352

) 2,将(1)代入得(2) 2,

5n35

,得n 7.22

（Ⅲ）等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：

ak1,ak2, ,akn恰为等比数列,其中k1 1,k2 5,k3 17,

求数列{kn}的前n项和.

[解析] a1,a5,a17成等比数列, a5 a1 a17,

2

(a1 4d)2 a1 (a1 16d) d(a1 2d) 0 d 0, a1 2d, 数列{akn}的公比q

a5a1 4d

3,a1a1

①②

akn a1 3n 1 2d 3n 1

而akn a1 (kn 1)d 2d (kn 1)d由①，② 得kn 2 3n 1 1,

3n 1

{kn}的前n项和Sn 2 n 3n n 1.

3 1

[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例3]解答下述问题：

（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.

[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a－d, a, a+d，则有

22

(a d)(a d 32) a d 32d 32a 0

22

(a 4) (a d)(a d) 8a 16 d

826

3d2 32d 64 0, d 8或d ,得a 10或,

39

226338

原三数为2,10,50或,,.

999

（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数. [解析]设此四数为a 15,a 5,a 5,a 15(a 15),

(a 152) (a 5)2 (a 5)2 (a 15)2 (2m)2(m N ) 4a2 500 4m2 (m a)(m a) 125, 125 1 125 5 25,

m a与m a均为正整数,且m a m a, m a 1 m a 2

m a 125 m a 25

解得a 62或a 12(不合), 所求四数为47，57，67，77

[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.

二、等差等比数列练习题

一、 选择题

1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）

（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在 2.、在等差数列

（A）an

an 中，a1 4,且a1,a5,a13成等比数列，则 an 的通项公式为 （ ）

3n 1 （B）an n 3 （C）an 3n 1或an 4 （D）an n 3或an 4

ac

的值为 （ ） xy

3、已知a,b,c成等比数列，且x,y分别为a与b、b与c的等差中项，则

（A）

12

（B） 2 （C）2 （D） 不确定

y是b,c的等比中项，那么x2，b2，y2三个数（ ）

4、互不相等的三个正数a,b,c成等差数列，x是a,b的等比中项，

（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列

（C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列

5、已知数列

an 的前n项和为Sn,S2n 1 4n2 2n,则此数列的通项公式为 …… 此处隐藏：4914字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……