6-2曲线拟合的最小二乘法

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曲线拟合的最小二乘法1.曲线拟合的意思Y . y=ax+b y=ax2+bx+c Xy=ax+b y=ax2+bx+c 就是未知函数的拟合曲线。

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2最小二乘法原理观测值与拟合曲线值误差的平方和为最小。

yi y0 y1 ^ ^ ^ yi y0 y1

y2 ^ y2

y3 y4…… ^ ^ y3 y4……

观测值 拟合曲线值

误差平方和表达公式：

Q=∑(yi-yi)2i=1

n

^

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3:拟合1次曲线y=ax+b根据公式：

Q=∑(yi-yi)2i=1

n

^

因为y=ax+b 所以 Q= ∑(axi+b-yi) 2

根据最小二乘原理，为使Q有最小值，应满足如下式子：

Q =0 a最后得到： a ∑xi+bn=∑ yi

Q =0 b

a ∑xi2 +b ∑xi= ∑xi yi

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4:拟合2次曲线y=ax2+bx+c分析：误差平方和表达公式：

Q=∑(y^-yi)2 i

因为y=ax2+bx+c 所以 Q= ∑(axi2+bxi+c -yi) 2

又根据：Q分别对a、b、c求偏导值为0,最后求得公式为：

∑xi4 a + ∑xi3 b + ∑xi2 c = ∑xi 2yi ∑xi3a + ∑xi2 b + ∑xi c = ∑xi yi ∑xi2 a +

∑xi b +n c = ∑yi

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例1:设给定的观测数据如下，求线性拟合函数y=ax+b。xi yi 1 0 2 2 3 2 4 5 5 4

解： a ∑xi2 +b ∑xi= ∑xi yi a ∑xi+bn=∑ yixi平方和为:55 xi和为:15 xi乘yi和为:50 yi和为:13

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代入公式，得到方程组为：55a+15b=50 15a+5b=13

解得：a=1.1 b=-0.7

所以：线性拟合曲线函数为：

y=1.1x-0.7

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例2:试用二次曲线 y=ax2+bx+c 拟合下列数据:xi Yi -3 4 -2 2 -1 3 0 0 1 -1 2 -2 3 -5

求得方程组为：

196a

28b28a

+28c=-7 =-39 +7c=1

解得：

b =-39/28

a=-11/84 c=2/3

拟合曲线为：

y=(-11x2-117x+56)/84

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练习1x 1.61 1.63 1.6 1.67 y 1.64 1.66 1.63 1.7

根据左侧数据求拟合曲线函数：y=ax+b

1.641.63 1.61

1.671.66 1.64

a ∑xi2 +b ∑xi= ∑xi yi a ∑xi+bn=∑ yi

1.661.59 1.68

1.691.62 1.71

1.58

1.63

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求所需系数，得到方程： 29.139a+17.9b=29.7076 17.9a+11b=18.25

通过全选主元高斯消去求得： a=0.912605 b=0.174034

所以线性拟合曲线函数为： y=0.912605x+0.174034

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练习2根据下列数据求拟合曲线函数： y=ax2+b

x 19

25

3149.0

3873.3

4497.8

y 19.0 32.3

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∑xi4 a + ∑xi2 b = ∑xi 2yi

∑xi2 a + n b = ∑yi7277699a+5327b=369321.5 5327a+5b=271.4Y=0.050035x2+0.972579

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课堂练习：设给定的观测数据如下，求线性拟合函数 y=ax2+bx+c。xi yi 1 0 2 2 3 2 4 5

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答案：354a+100b +30c=106 100a+30b+10c=30 30a+10b+4c=9

求得方程组为：

解得：

a=0.25

b=0.25

c=-0.25

拟合曲线为：

y=0.25x2+0.25x-0.25

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课堂练习设给定观测数据如下，求线性拟合函数 y=ax2+bx+c

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上题答案 Xi4和354 Xi3和100 Xi2和=30 Xi和10 Xiyi和30 Yi和9 N=4 Xi2yi和106 354a+100b+30c=106 100a+30b+10c=30 30a+10b+4c=9 a=1/4 b=1/4 c=-1/4 Y=0.25x2+0.25x-0.25

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