计算公路匝道点位坐标的复化辛普森公式

测量计算

计算公路匝道点位坐标的复化辛普森公式

李孟山 李少元

摘 要：本文结合公路匝道线形曲率变化的特点，利用复化辛普森公式导证了计算公路匝道坐标的通用公式。

关键词：复化辛普森公式；公路匝道；坐标计算 分类号：P21 文献标识码：B

文章编号：0494-0911(2000)01-0035-01

A Compound Simpson Formula for Calculating Coordinates of

Ring Road Point on Highway

LI Meng-shan, LI Shao-yuan▲

一、引言

匝道是组成高等级公路立交的基本单元，其形式千变万化，就线型而言，也是由直线段、回旋曲线段、圆曲线段组成。但是，组成立交的匝道涉及多个基本曲线，设计半径也较小，这就为坐标计算带来了困难，本文依据公路匝道线形的曲率变化特点，利用复化辛普森公式导证了计算公路匝道点位坐标的通用公式。

二、公路匝道点位坐标计算

1. 公路匝道中线形式

公路匝道中线是由直线—回旋曲线—圆曲线(R1)—回旋曲线—圆曲线(R2)—回旋曲线—直线的顺序组成的，其中R1≠R2。 2. 回旋曲线上点位坐标方位角的计算

如图1，设回旋曲线起点A的曲率为ρA，其里程为DKA；回旋曲线终点B的曲率为ρB，其里程为DKB.Ax′y′为以A为坐标原点，以A点切线为x′轴的局部坐标系；AXY为线路坐标系。

测量计算

图1 局部坐标系与线路坐标系

由于回旋曲线上各点曲率半径Ri和该点离曲线起点的距离li成反比，故此任意点的曲率为

ρi=1/Ri=li/c(c为常数) (1)

由式(1)可知，回旋曲线任意点的曲率按线性变化，由此回旋曲线上里程为DKi点的曲率为

(2)

当曲线右偏时，ρA，ρB取正；当曲线左偏时，ρA，ρB取负。 在图1中有

将式(2)代入式(3)得

(3)

(4)

若已知回旋曲线起点A在线路坐标系下切线坐标方位角αA，则里程为DKi点切线坐标方位角为

αi=αA+β

i

(5)

测量计算

将式(4)代入式(5)得

(6)

对于式(6)，当ρA＝0，ρB＝0时，ρi=0，则αi=αA，式(6)变成计算直线段上任意点切线坐标方位角计算公式；当ρA＝1/R，ρB＝1/R时，ρi=1/R,

则

\2，式(6)代表圆曲线上任意点

切线坐标方位角计算公式。

可见，若已知曲线段起点和终点的曲率及起点的切线坐标方位角，式(6)便能计算任意线型点位切线坐标方位角。 3. 回旋曲线点位坐标计算

由图1可得回旋曲线上点位在Ax′y′坐标系下坐标计算公式：

(7)

(8)

设回旋曲线起点A在线路坐标系下的坐标为(XA,YA)，将式(6)替代式(8)中的βi，便得回旋曲线上任意点在线路坐标系下的坐标：

(9)

对于式(9)的解算，由于后半部分是定积分，我们引入复化辛普森公式对其进行解算。

首先将积分区间［DKA,DKi］划分为n等分，步长为H＝(DXi-DKA)/n,分点里程为DXK=DKA+KH,K=0,1,2,…，n,记子区间［DXK,DXK+1］的中点里程为

，则DXK+=(DXK+DXKH)/2，K=0,1,…，n-1。

由此式(9)用复化辛普森公式表示为

测量计算

(10)

式中：αA为回旋曲线起点A的切线方位角；为里程点

切线方位角；αΚ为里程DXK点切线方位角；αi为里程DKi点切线方位角。 对于式(10)，虽然是由回旋曲线导出的，但该式也适用直线段和圆曲线段。

三、复化辛普森公式的使用说明

为满足点位坐标计算精度，经验算取n=2。无论是直线段、圆曲线段、回旋曲线段，只要将各曲线段中的起点、终点的曲率和里程以及解求点里程DKi和各分点里程代入式(2)、(6)、(10)便可获得待求点DKi的坐标。在计算时，要注意曲线的偏向。

四、结论

本文得到的式(10)是计算公路匝道点位坐标的通用公式。当曲线的设计半径较小时，为保证点位计算精度，n的取值可适当的大些。该公式很容易在袖珍计算机和CASIO-4500P上编程。■

作者单位：李孟山(石家庄铁道学院，河北 石家庄 050043) 李少元(石家庄铁道学院，河北 石家庄 050043)