2019届高中数学人教A版必修四 第二章 平面向量 学业分层测评19

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学业分层测评(十九)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．(2016·开封质检)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(0，2)，若a ⊥(b －c )，则实数x 的值为( )

A ．43

B ．34

C ．－34

D ．－43

【解析】 b －c ＝(x ，－4)，由a ⊥(b －c )知3x －4＝0， ∴x ＝43.故选A ．

【答案】 A

2．(2016·马鞍山质检)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －b|＝( )

A ．5 3

B ．3 5

C ．2 5

D ．2 2 【解析】 ∵a ∥b ，∴4＋2x ＝0，

∴x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)，

∴|a －b|＝3 5.故选B ．

【答案】 B

3．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，23)，则a 与b 的夹角是( ) A ．π6

B ．π4

C ．π3

D ．π2

【解析】 设a 与b 的夹角为θ，

则cos θ＝a ·b |a||b|＝（1，3）·（－2，23）2×4

＝12， 解得θ＝π3.故选C ．

【答案】 C

4．若a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，则a 在b 方向上的投影为( )

【导学号：00680059】

A ．655

B ．65

C ．135

D ．13

【解析】 a 在b 方向上的投影为|a |cos<a ，b >＝a ·b |b |＝（2，3）·（－4，7）（－4）2＋7

2＝2×（－4）＋3×7

65

＝655.

【答案】 A

5．已知正方形OABC 两边AB ，BC 的中点分别为D 和E ，则∠DOE 的余弦值为( )

A ．12

B ．32

C ．35

D ．45 【解析】 以点O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设边长为1，

则D ? ????1，12，E ? ??

??12，1，于是cos ∠DOE ＝? ????1，12? ????12，112＋? ????122·? ????122＋12＝45. 【答案】 D

二、填空题

6．已知OA →＝(－2，1)，OB →＝(0，2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是

________．

【解析】 设C (x ，y )，则AC

→＝(x ＋2，y －1)， BC

→＝(x ，y －2)，AB →＝(2，1)． 由AC

→∥OB →，BC →⊥AB →，得 ?????2（x ＋2）＝0，2x ＋y －2＝0，解得?????x ＝－2，y ＝6，

∴点C 的坐标为(－2，6)．

【答案】 (－2，6)

7．(2016·德州高一检测)若向量a ＝(－2，2)与b ＝(1，y )的夹角为钝角，则y 的取值范围为________．

【解析】 若a 与b 夹角为180°，则有b ＝λa (λ<0)

即?????1＝－2λy ＝2λλ<0

，解得y ＝－1且λ＝－12，所以b ≠λa (λ<0)时y ≠－1；①

若a 与b 夹角θ∈? ??

??π2，π时，则只要a·b<0且b ≠λa (λ<0)． 当a·b <0有－2＋2y <0解得y <1.②

由①②得y <－1或－1<y <1

【答案】 (－∞，－1)∪(－1，1)

三、解答题

8．已知AB →＝(6，1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2，1)．

(1)若A ，C ，D 三点共线，求k 的值；

(2)在(1)的条件下，求向量BC

→与CD →的夹角的余弦值． 【解】 (1)因为AC

→＝AB →＋BC →＝(10，k ＋1)，由题意知A ，C ，D 三点共线， 所以AC →∥CD →，所以10×1－2(k ＋1)＝0，即k ＝4.