四川高考理科数学试题2006年—2011年函数导数解答题

四川高考理科数学试题2006年—2011年函数导数解答题

1．（2006年四川高考22题）已知函数f(x) x+

2

2x

+alnx(x 0),f(x)的导函数是

f (x)。对任意两个不相等的正数x1、x2，证明：

（Ⅰ）当a 0时，

f(x1) f(x2)

2

f(

x1 x2

2

)；

（Ⅱ）当a 4时，f (x1) f (x2) x1 x2。

1

2．（2007年四川高考22题）设函数f(x) 1 (n N,且n 1,x N).

n

1

(Ⅰ)当x=6时,求 1 的展开式中二项式系数最大的项;

n

n

n

(Ⅱ)对任意的实数x,证明

f(2x) f(2)

2

n

＞f (x)(f (x)是f(x)的导函数);

1

＜(a 1)n恒成立?若存在,试证明你的结论并求k

(Ⅲ)是否存在a N,使得an＜ 1

k 1

出a的值;若不存在,请说明理由.

3．（2008年四川高考22题）已知x 3是函数f(x) aln(1 x) x2 10x的一个极值点． （Ⅰ）求a；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若直线y b与函数y f(x)的图像有3个交点，求b的取值范围．

4．（2009年四川高考21题）已知a 0,且a 1函数f(x) loga(1 ax)。 （I）求函数f(x)的定义域，并判断f(x)的单调性；

a

nf(n)

（II）若n N,求lim

*

n

a a

;

（III）当a e（e为自然对数的底数）时，设h(x) (1 ef(x))(x2 m 1)，若函数h(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h(x)的极值。

5．（2010年四川高考22题）设f(x)

1 a1 a

xx

（a 0且a 1），g(x)是f(x)的反函数.

（Ⅰ）设关于x的方程求loga值范围；

t

(x 1)(7 x)

2

g(x)在区间[2，6]上有实数解，求t的取

n

（Ⅱ）当a＝e（e

为自然对数的底数）时，证明： g(k)

k 2

2 n n

2

；

n

1

（Ⅲ）当0＜a≤ f(k) n 与4的大小，并说明理由.

2k 1

6．（2011年四川高考22

题）已知函数f(x)

213x

2,h(x)

(I)设函数F(x) f(x) h(x)，求F(x)的单调区间与极值； (Ⅱ)设a R，解关于x的方程log34[

2

f(x 1) 34

] log2h(a x) log2(4 x)100

(Ⅲ)试比较f(100)h(100) h(k)与

16

的大小.

k 1

四川高考理科数学试题函数导数答案

1．（2006年四川高考22题） 证明：（Ⅰ）由f x x2

f x1 f x2

2

12

12

2x

2

alnx

得

12

x1 x2

2

11 a xx 2 lnx1 lnx2 12

x x 1x24 x x2 x12

f 1 aln

22x x2 12

2

2

x

2

1

x2

2

x1 x2x1x2

1

2

aln

而

x

2

1

x2

2

x x2 ①

x1 x2 2x1x2 1

4 2

2

2

又 x1 x2 x12 x22 2x1x2 4x1x2， ∴∵

x1 x2

2

2

2

x1 x2x1x2

4x1 x2

②

x1 x2

2

1

∴ln

ln

x1 x2

2

∵a 0,

∴aln

2

aln

③由①、

②、③得

x

2

1

x2

2

x1 x2x1x2

aln

4 x x2

1 aln

2x1 x2

即

f x1 f x2

2

x x2

f 1

2

2

（Ⅱ）证法一：由f x x

2x

alnx，得f

'

x

2x

2x

2

ax

2 x1 x2 a

∴f' x1 f' x2 2x1 2 a 2x2 2 a x1 x2 2 2222

x1

x1

x2

x2

x1x2x1x2

f

'

x1

f

'

x2

x1 x2 2

2 x1 x2 x1x2

2

2

ax1x2

1

下面证明对任意两个不相等的正数x1,x2,有2

2 x1 x2 x1x2

2 x1 x2 x1x2

2

2

ax1x2 1恒成立

即证a x1x2

成立∵x1x2

2

x1 x2 x1x2

x1x2

设t

u x t

2

4 t

0 ，则u

'

x

2t

4

2

,令u

'

x 0得t

，列表如下：

2 x1 x2 x1x2

u t 4 a ∴x1x2

a∴对任意两个不相等的正数x1,x2，

恒有f

'

x1

f

'

x2

2

x1 x2

2x

alnx，得f

'

证法二：由f x x x

2x

2x

2

ax

2x x2 a2

a 2a x x 2 1

∴f' x1 f' x2 1222 2x1 2 2x2 2

x1x2x1x2x1x1 x2x2

∵x1,x2是两个不相等的正数

2x x2 a∴2 1 2 22

x1x2

x1x2

4

ax1x2

3

2

3

2

4

3

4x1x2

设t

u t 2 4t 4t

t 0 则u' t 4t 3t 2 ，列表：

3827

ax1x2

∴u 1 即 2

2 x1 x2 x1x2

2

2

1

∴f' x1 f' x2 x1 x2 2

2 x1 x2 x1x2

2

2

ax1x2

x1 x2

即对任意两个不相等的正数x1,x2，恒有f2．（2007年四川高考22题）

'

x1

f

'

x2 x1 x2

20 1

（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是C1 3

n n

35

6

3

1

（Ⅱ）证法一：因f 2x f 2 1

n

n2n

1

1

n

n

2

1 1 1

2 1 1 2 1

n n n

n

'

n

1 1 1 1

2 1 ln 1 2 1 ln 1 2f

n 2 n n 1

证法二：因f 2x f 2 1

n

1 1

2 1 1 而2f

n n

n

x

2n

1

1 n

n

2

1 1 '

x 2 1 ln 1

n n

故只需对 1

1 1

和ln1 进行比较。 n n

'

令g x x lnx x 1 ，有g因为当0 x 1时，g

'

x 1

1x

x 1x

由

x 1x

0，得x 1

'

x 0，g x 单调递减；当1

x 时，g

x 0，g x 单

调递增，所以在x 1处g x 有极小值1，故当x 1时，g x g 1 1，从而有

1 1

x lnx 1，亦即x lnx 1 lnx，故有 1 ln 1 恒成立。

n n

所以f 2x f 2 2f

'

x ，原不等式成立。

（Ⅲ）对m N，且m 1 1

有 1

m

m

1 2 1 k 1 m 1

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