生物统计学第五章 卡方检验

生物统计学

第五章 卡方检验

生物统计学

教学目的要求

掌握：卡方检验的适用条件和计算公式；适 合性检验的基本原理和方法；独立性检验的 原理和方法。熟悉：适合性检验和独立性检验的应用。

了解：适合性检验在遗传学及其他生物学科 中上的应用。

生物统计学

讲授内容

一、卡方检验的原理和方法 二、适合性检验 三、独立性检验

生物统计学

一、卡方检验的原理和方法 1、卡方检验的原理

应用理论值(expected value,E)与观测值(observed value,O)之间的偏离程度 来决定卡方值的大小。

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2、卡方检验的程序

将观测值分为k组 计算n次观测值中每组的观测频数，记为Oi 根据变量的分布规律或概率运算法则，计算每组的 理论频率为Pi

计算每组的理论频数Ei 检验 Oi 与 Ei 的差异显著性，判断两者之间的不符合 度

生物统计学

a、零假设：H0:O-E=0;备择假设： O-E≠0(这里检验的 不是参数，而是判断观测数是否符合理论分布)

b 、检验统计量：这里要求 n 充分的大，当 n≥50 时(最好≥ 100 ),所定义的检验统计量近似服从卡方分布， Ei=nPi

不得小于 5 ,若小于 5 ,将尾区相邻的组合并，直到合并后的组的Ei≥5,合并后再计算卡方值。

(Oi Ei) 2 df Ei i 1k

2

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c、建立拒绝域 d、作出统计学结论

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二、适合性检验(goodness of fit)用来检验观测数与依照某种假设或分布模型 计算得到的理论数之间一致性的一种统计假 设检验，以便判断该假设或模型是否与实际 观测数相吻合。

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(一)总体参数未知的正态性检验

例1 高粱“三尺三”株高测定结果(cm)155 159 150 159 157 161 158 148 164 153 158 150 161 149 159 155 163 155 159 153 160 156 153 161 153 156 156 155 153 156 141 153 156 151 163 158 150 144 160 156 155 162 157 154 164 159 156 155 145 162 151 156 158 148 157 150 160 156 154 152 153 152 164 159 157 151 153 152 154 147 163 154 151 160 157 158 162 157 158 158 157 152 150 155 161 155 162 155 154 165

158

166

154

154

157

167

157

159

170

158

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题解(1)将观测值分为 k组；按照分组原理分成 10组，制成频数 分布表高粱“三尺三”株高频数分布表组号 1 组限/cm 141~143 组界/cm 140.5~143.5 中值 142 频数 1 频率 0.01

23 4 5 6 7 8 9 10 ——

144~146147~149 150~152 153~155 156~158 159~161 162~164 165~167 168~170 总计

143.5~146.5146.5~149.5 149.5~152.5 152.5~155.5 155.5~158.5 158.5~161.5 161.5~164.5 164.5~167.5 167.5~170.5 ——

145148 151 154 157 160 163 166 169 ——

24 13 23 28 15 10 3 1 100

0.020.04 0.13 0.23 0.28 0.15 0.10 0.03 0.01 1

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(2)获得的n次观测值中，第i组的观测频数记为Oi,

Oi n, n 100

k

(3)第i组的理论频率为Pi,

其计算方法如下：s 4.98cm

i 1

① 先计算样本平均数和标准差 x 156.1cm

②假设高粱“三尺三”符合正态分布 , 2 。根据参数估计原

用s/c4=4.98/0.9975=4.99估计(样本标准 理， 用 x 估计 ，差分布的矩系数C4、C5表)。即假设高粱的株高x服从正态 分布 156 .1,4.992

③根据正态分布概率的计算关系，查附表 1,计算各组组界的 理论频率

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(4)计算各组的理论频数为Ei=npi,填入下表

高粱“三尺三”株高观察频数和理论频数表组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 组界/cm 140.5~143.5 143.5~146.5 146.5~149.5 149.5~152.5 152.5~155.5 155.5~158.5 158.5~161.5 161.5~164.5 164.5~167.5 观察频数(Oi) 1 2 4 13 23 28 15 10 3

观察频率 (Pi)0.01 0.02 0.04 0.13 0.23 0.28 0.15 0.10 0.03

理论频率 (P)0.005 0.022 0.066 0.142 0.216 0.232 0.176 0.094 0.035

理论频数 (Ei)0.5 2.2 6.6 14.2 21.6 23.2 17.6 9.4 3.5

10 ——

167.5~170.5 ——

1 100

0.01 1.00

0.009 1.00

0.9 100

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(5)Oi与Ei进行比较，判断两者之间的不符合度，检验程序 如下：①零假设：H0:O-E=0;HA: O-E≠0 ②检验统计量：(Oi Ei) 2 Ei i 1k 2

高粱“三尺三”株高观察频数和理论频数表(合并后) 组号 1 ~3 组界/cm 140.5~149.5 观察频数(Oi) 7 观察频率 (Pi) 0.07 理论频率 (P ) 0.093 理论频数 (Ei) 9.30 卡方值 0.569

45 6 7 8~10 总计

149.5~152.5152.5~155.5 155.5~158.5 158.5~161.5 161.5~164.5 ——

1323 28 15 14 100

0.130.23 0.28 0.15 0.14 1.00

0.1420.216 0.232 0.176 0.138 1.00

14.221.6 23.2 17.6 13.8 100

0.1010.091 0.993 0.384 0.003 2.141

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卡方值的自由度 df=k-1-a ,其中 k 为合并后的组数， a 为需要由样估计的总体参数的个数；合并后的组数

k=6,由样本估计了总体的平均数和标准差，故a=2,df=3,不用校正，计算卡方值 k O E 2 i 2 i 2.141i 1

Ei

2 2 ③建立拒绝域 2 df , 0.05 3, 0.05 7.815

④结论：高粱株高服从正态分布

生物统计学

(二)总体参数已知的正态性检验袋标准重量为500g,调查了100袋，结果如下表所示。 袋装食盐重量调查表

例2 自动包装的袋装食盐的重量是否服从正态分布？已知每

500

512

515

542

522

514

488

497

475

487

497493 498 502 494 499 490

500491 494 496 518 484 496

518506 482 494 503 517 491

508487 482 494 503 517 491

530486 512 488 503 506 490

508491 527 505 485 500 520

500505 522 472 529 503 512

479478 470 482 476 527 482

506492 493 506 496 500 488

504512 548 478 500 499 509

488494

518500

516511

516511

530506

508493

492522

486524

492492

536478

生物统计学

题解(1)零假设：H0:O-E=0;备择假设HA: O-E≠0 (2)分组：样本容量n=100,取组数m=10,组距为8g (3)计算理论

频率pi和理论频数Ei

(4)检验统计量的计算 2 i 1

k

Oi Ti 2Ti

6.1638

(5)自由度df=k-1-a=8-1-1=6

(6)拒绝域的建立(7)接受H0,服从正态分布