选修4-1 第三讲 三 平面与圆锥面的截

选修4-1 第三讲 三 平面与圆锥面的截

三.平面与圆锥面的截线 平面与圆锥面的截线

选修4-1 第三讲 三 平面与圆锥面的截

问题： 问题：当

α

与 β 满足什么关系时A

的延长线), (1) 与AB(或AB的延长线), ) ( 的延长线 AC都相交 都相交 (2) 与AB不相交 ) 不相交 lB

l

α

βP D

lC

的延长线， 都相交 (3) 与BA的延长线，AC都相交 ) 的延长线

l

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G A

α

EB

βP

F

l

(1) (2) (3)

β >α , l 不相交。 β =α , l 与AB不相交。 不相交 的延长线、 都相交 都相交。 β < α , l 与BA的延长线、AC都相交。 的延长线

C D 的延长线)、 都相交 都相交。 与AB(或AB的延长线 、AC都相交。 或 的延长线

选修4-1 第三讲 三 平面与圆锥面的截

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如果用一个平面去截一个正圆锥(两边可 如果用一个平面去截一个正圆锥 两边可 以无限延伸),而且这个平面不通过圆锥的顶 以无限延伸 而且这个平面不通过圆锥的顶 会出现三种情况: 点,会出现三种情况 会出现三种情况

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截面与圆锥底面不平行时截痕可能为 截面与圆锥底面不平行时截痕可能为一个椭圆 与圆锥底面不平行时截痕可能V(顶点 顶点) 顶点

截痕为椭圆 截痕为椭圆

截面

选修4-1 第三讲 三 平面与圆锥面的截

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截面与圆锥的母线平行 截面与圆锥的母线平行时其截面为抛物线 与圆锥的母线平V 圆锥母线 圆锥高 圆锥高VH 截面

正圆锥面 正圆锥面 截痕为抛物线 截痕为抛物线 H 底为圆

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截痕为双曲线 截痕为双曲线

正圆锥面 正圆锥面

截面 截痕为双曲线 截痕为双曲线

底面圆 底面圆

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定理2 在空中， 为轴， 定理 在空中，取直线 l 为轴，直线 l ′ 与 l 相交 旋转得到以O为顶点 l ′ 为顶点， 于O点,夹角为α ,l ′围绕 l 旋转得到以 为顶点， 点 夹角为 为母线的圆锥面。任取平面π,若它与轴 l的交角 为母线的圆锥面。任取平面 若它与轴 ),则 为 β(当 π与 l平行时，记 β =0),则 与 平行时， ), (1)β>α,平面 与圆锥 平面π与圆锥 平面 的交线为椭圆 椭圆; 的交线为椭圆 (2) β=α,平面 与圆锥 平面π与圆锥 平面 的交线为抛物线 抛物线; 的交线为抛物线 (3)β<α,平面 与圆锥 平面π与圆锥 平面 的交线为双曲线 双曲线。 的交线为双曲线。

l′l

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拋物线焦点的产生 拋物线焦点的产生球面与圆锥面相切(切点圆) 含切点圆的平面 (切点面) 截面与切点面交线 (准线)

內切球面 对称轴 球的切点 (焦点) 圆锥面 圆锥面 截面 由截面截出的拋物线

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椭圆焦点的产生球面与锥面相切 大球的切点 (焦点) 由截面截出的椭圆 小球的切点 (焦点) 截面 球面与锥面相切 圆锥面 圆锥面 內切小球面

內切大球面

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双曲线焦点的产生