2019年高中数学第二章数列2.4.1等比数列的概念及通项公式练习新

第1课时 等比数列的概念及通项公式

课后篇巩固探究

A 组

1.若a ,b ,c 成等差数列,则

一定( )

A.是等差数列

B.是等比数列

C.既是等差数列也是等比数列

D.既不是等差数列也不是等比数列

a ,

b ,

c 成等差数列,所以2b=a+c ,于是,

所以

一定是等比数列.

2.在等比数列{a n }中,a 2 017=-8a 2 014,则公比q 等于( )

A.2

B.-2

C.±2

D.

a 2 017=-8a 2 014,得a 1q 2 016=-8a 1q 2 013,所以q 3=-8,故q=-2.

3.在等比数列{a n }中,a n >0,且a 2=1-a 1,a 4=9-a 3,则a 4+a 5的值为( )

A.16

B.27

C.36

D.81

a 2=1-a 1,a 4=9-a 3,得a 1+a 2=1,a 4+a 3=9.设公比为q

,则q 2=

=9.因为a n >0,所以q=3,于是a 4+a 5=(a 1+a 2)q 3=27.

4.已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,

a 4成等比数列,则a 2=( )

A.-4

B.-6

C.-8

D.-10

a 4=a 1+6,a 3=a 1+4,a 1,a 3,a 4成等比数列

,

∴=a 1·a 4,即(a 1+4)2=a 1·(a 1+6),

解得a 1=-8,∴a 2=a 1+2=-6.故选B .

5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =2a n+1,则S n =( )

A .2n-1

B .

C .

D .

S n =2a n+1,得S n =2(S n+1-S n ),即2S n+1=3S n ,.又S 1=a 1=1,所以S n =,故选B .

6.已知等比数列{a n },a 3=3,a 10=384,则该数列的通项a n = .

q.∵=q 7==27,∴q=2.

∴a

n =a 3q n-3=3·2n-3.

n-3

7在数列{a n }中,已知a 1=3,且对任意正整数n 都有2a n+1-a n =0,则a n = .

2a n+1-a n =0,

得,所以数列{a n }是等比数列,公比为.因为

a 1=3,所以a n =3·.

8.在等比数列{a n }中,若a 1=,q=2,则a 4与a 8的等比中项是 .

,得a 6=a 1q 5=×25=4,而a 4与a 8的等比中项是±a 6,故a 4与a 8的等比中项是±4.

4

9.导学号04994040已知数列{a n }是等差数列,且a 2=3,a 4+3

a 5=56.若log 2

b n =a n .

(1)求证:数列{b n }是等比数列;

(2)求数列{b n }的通项公式. log 2 b n =a n ,得b n

=.

因为数列{a n }是等差数列,不妨设公差为d ,

则=2d ,2d 是与n 无关的常数,所以数列{b n }是等比数列.

,得

解得

于是b 1=2-1=,公比q=2d =24=16,

所以数列{b n }的通项公式b n =·16n-1.

10.已知数列{a n }满足a 1=,且a n+1=a n + (n ∈N *

). (1)求证:是等比数列;

(2)求数列{a n }的通项公式.

a n+1=a n +,∴a n+1-a n +.∴.

∴是首项为,公比为的等比数列.

a n -,

∴a n =.

B 组

1.若a ,b ,c 成等差数列,而a+1,b ,c 和a ,

b ,c+2都分别成等比数列,则b 的值为( )

A.16

B.15

C.14

D.12

,得解得

2.在等比数列{a n }中,a 1=1,公比|q|≠1.若a m =a 1a 2a 3a 4a 5,则m 等于( )

A.9

B.10

C.11

D.12

a m =a 1a 2a 3a 4a 5=q ·q 2·q

3·q 4=q 10=1×q 10,

11.

3.已知等比数列{a n },各项都是正数,且a 1, a 3,2a 2成等差数列,则=( )

B.1-

C.1+

D.3-2

a 1, a 3,2a 2成等差数列,得a 3=a 1+2a 2.在等比数列{

a n }中,有a 1q 2=a 1+2a 1q ,即q 2=1+2q

,得q=1+或1-(舍去),所以=q 2=(1+)2=3+2.

4.已知-7,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列,-4,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列,则

= .

,得a 2-a 1==2,=(-4)×(-1)=4.又b 2是等比数列中的第3项

,所以b 2与第1项同号,即b 2=-2,所以=-1.

1

5已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公

a n =a n+1+a n+2,所以a

n =a n q+a n q 2.因为a n >0,所以q 2+q-1=0,解得q=(q=舍去).

6.若数列a 1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a 5=

. ,得=(-)n-1(n ≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4

,

将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a 1=1,所以a 5=32.

7已知数列{a n }满足S n =4a n -1(n ∈N *),求证:数列{

a n }是等比数列,并求出其通项公式.

,得当n ≥2时,S n-1=4a n-1-1,所以a n =S n -S n-1=(4a n -1)-(4a n-1-1),

即3a n =4a n-1,所以,故数列{a n }是公比为的等比数列.

因为S 1=4a 1-1,即a 1=4a 1-1,所以a 1=,故数列{a n }的通项公式是a n =.

8.导学号04994041已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n +1,

(1)求证:{a n }是等比数列,并求出其通项公式;

(2)设b n =a n+1+2a n ,求证:数列{b n }是等比数列.

∵S n =2a n +1,∴S n+1=2a n+1+1,S n+1-S n =a n+1=(2a n+1+1)-(2a n +1)=2a n+1-2a n ,

∴a n+1=2a n .

由已知及上式可知a n ≠0.

∴由=2知{a n }是等比数列.

由a 1=S 1=2a 1+1,得a 1=-1,∴a n =-2n-1.

(2)由(1)知,a n=-2n-1,

∴b n=a n+1+2a n=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.∴数列{b n}是等比数列.