2020版一轮复习理科数学习题：不等式(必修5)第4节基本不等式含解

第4节基本不等式

【选题明细表】

基础巩固(时间:30分钟)

1.(2018·衡水周测)下列不等式一定成立的是( C )

(A)lg(x2+)>lg x(x>0)

(B)sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)

(C)x2+1≥2|x|(x∈R)

(D)>1(x∈R)

解析:当x>0时,x2+≥2·x·=x,所以lg(x2+)≥lg x(x>0),故A错误;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,当x≠ kπ,k∈Z时,sin x 的正负不定,故B错误;当x=0时,有=1,故D错误.故选C.

2.(2018·黄石月考)设0<a<b,则下列不等式中正确的是( B )

(A)a<b<<(B)a<<<b

(C)a<<b<(D)<a<<b

解析:法一由a=,b==,0<a<b,及均值不等式知< <<.故选B.

法二特殊值法,令a=1,b=2,代入验证即可.

3.(2015·湖南卷)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( C )

(A)(B)2 (C)2 (D)4

解析:由题设易知a>0,b>0,所以=+≥2,即ab≥2,当且仅当b=2a时等号成立,故选C.

4.(2018·白城模拟)若x>,则f(x)=4x+的最小值为( D )

(A)-3 (B)2 (C)5 (D)7

解析:f(x)=4x+=4x-5++5.

因为x>,所以4x-5>0,

所以4x-5+≥2.故f(x)≥2+5=7,等号成立的条件是x=.

5.(2018·孝感模拟)已知a>0,b>0,2a+b=1,则+的最小值是( D )

(A)4 (B)(C)8 (D)9

解析:因为2a+b=1,又a>0,b>0,

所以+=(+)·(2a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=b=时等号成立.故选D.

6.(2018·西宁模拟)设a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值等于( C )

(A)0 (B)4 (C)-4 (D)-2

解析:由++≥0得k≥-,而=++2≥4(a=b时取等号),所以

-≤-4,因此要使k≥-恒成立,应有k≥-4,即实数k的最小值等于-4.

7.(2018·南阳模拟)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距车站10公里处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站公里处.

解析:设x为仓库与车站距离,由已知y1=;y2=0.8x费用之和y=y1+ y2=0.8x+≥

2=8,当且仅当0.8x=,即x=5时“=”成立.

答案:5

8.(2017·天津卷)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.

解析:因为a,b∈R,ab>0,

所以≥=4ab+≥2=4,

当且仅当即时取得等号.

故的最小值为4.

答案:4

能力提升(时间:15分钟)

9.(2018·大连一模)已知首项与公比相等的等比数列{a n }中,若m,n ∈N *满足

a m =,则+的最小值为( A )

(A)1 (B) (C)2 (D)

解析:设{a n }的公比为q,由题意得a m =q m ,a n =q n ,a 4=q 4,所以q m+2n =q 8.

所以m+2n=8,所以

=1, 又因为m,n ∈N *,

所以+=+=+++≥+2=1. 当且仅当=,即m=2n=4时取“=”.故选A.

10.(2018·信阳模拟)已知两个正数x,y 满足x+4y+5=xy,则xy 取最小值时,x,y 的值分别为( B )

(A)5,5 (B)10, (C)10,5 (D)10,10

解析:因为x>0,y>0,

所以xy=x+4y+5≥4

+5.

令=t, 则t 2≥4t+5,即t 2-4t-5≥0.

解得t ≥5或t ≤-1(舍去), 所以≥5.

由解得

所以x=10,y=.

11.(2018·太原模拟)设x,y满足约束条件

若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为1,则+的最小值为( D )

(A) (B)(C) (D)4

解析:作出可行域如图中阴影部分所示.因为a>0,b>0,

所以由图知,当直线z=ax+by过点A(1,1)时,z取得最大值1,

所以a+b=1.所以+=+=2++≥2+2=4.当且仅当a=b=时取等号. 12.(2018·南昌二中月考)在△ABC中,D为AB的中点,点F在线段CD(不含端点)

上,且满足=x+y,若不等式+≥a2+at对t∈[-2,2]恒成立,则a的最小值为( B )

(A)-4 (B)-2 (C)2 (D)4

解析:根据图象知道点D,F,C三点共线,故=x+y=2x+y,由共线定理得到

2x+y=1,则(+)(2x+y)=4++≥8,故问题转化为8≥a2+at对t∈[-2,2]恒成立,当a=0时0≤8恒成立,因为y=at+a2-8(a≠0)是关于t的一次函数,故直接代入端点即可,?a∈[-2,2],故a的最小值为-2.

13.(2018·唐山模拟)规定记号“?”表示一种运算,即a?b=+a+b(a,b为正实数).

若1?k=3,则k的值为,此时函数f(x)=的最小值为.

解析:1?k=+1+k=3,

即k+-2=0,

所以=1或=-2(舍),

所以k=1.

f(x)===1++≥1+2=3,

当且仅当=即x=1时等号成立.

答案:1 3

14.(2018·常州模拟)已知a>b>0,则a2+的最小值是.

解析:因为a>b>0,所以b(a-b)≤()2=,当且仅当a=2b时等号成立.

所以a2+≥a2+=a2+≥2=16,

当且仅当a=2时等号成立.

所以当a=2,b=时,a2+取得最小值16.

答案:16