高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法课后导练北

高中数学课后导练北师大版必修4(含解析)

2.2 从位移的合成到向量的加法

课后导练

基础达标

1.下列等式正确的个数是( )

①0-a =-a ②-(-a )=a ③a +(-a )=0 ④a +0=a ⑤a -b =a +(-b ) ⑥a +(-a )=0

A.3

B.4

C.5

D.6

解析:只有第⑥个错误.

答案：C

2.化简（-）+（-）的结果是( )

A.0

B.

C.

D.

解析：（AB -CD ）+（BE -DE ）=AB +DC +BE +ED =AB +BE +ED +DC =AC . 答案：D

3.已知下列各式，其中结果为0的个数为（ ） ①++ ②（+）++ ③+++ ④AB +CA +BD +DC

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：①④两式结果为0.

答案：B

4.如右图，正方形ABCD 的边长为1，则|AB +BC +DC +AD |等于…（ ）

A.1

B.2

C.3

D.22

解析：|+++|=|2|=2||=22.

答案：D

5.如右图，四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是（ ）

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A.AB +BC =CA

B.AB +AC =BC

C.+=

D.+=

答案：C

6.若|AB |=7，|AC |=3，则|BC |的取值范围_________.

解析：||=|-|，当与同向时，||min =4；当与反向时，||max =10.

答案：4≤||≤10

7.设向量a 表示“向东走6 m”，b 表示“向北走6 m ”，则|a +b |________=,a +b 的方向是______.

解析:由向量加法的三角形法则知|a +b |=26，而a +b 的方向是东北方向. 答案：26 m 东北方向

8.求证：对任意向量a 、b ，都有|a +b |≤|a |+|b |.

证明：(1)当a 、b 不共线时，

如右图，a +b =OB ，

∵△OAB 中||＜||+||,

∴|a +b |≤|a |+|b |.

(2)当a ,b 共线时，a ,b 同向则|a +b |=|a |+|b |；

a ,

b 反向则|a +b |＜|a |+|b |.

∴对任意向量a ,b ，都有|a +b |≤|a |+|b |.

9.在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，若船从A 处出发，沿垂直水流的航线到达对岸，船的航速是多少？方向怎样？

解析：v 实=320400160022=-=-水船v v ， tan∠ABC=320320=,

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∴∠ABC=60°,

20 m/s，与水流的夹角是60°.

答：船的速度是3

综合运用

10.已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a+b的方向( )

A.与向量a方向相同

B.与向量a方向相反

C.与向量b方向相同

D.与向量b方向相反

解析：已知a平行于b，如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a的方向相同;如果它们的方向相反，因为a的模大于b的模，所以它们的和仍然与a的方向相同.

答案：A

11.a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则( )

A.a∥b，且a与b方向相同

B.a、b是共线向量

C.a=-b

D.a、b无论什么关系均可

解析:当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a、b的方向都不相同，且|a+b|＜|a|+|b|；向量a与b同向时，a+b的方向与a、b的方向都相同，且|a+b|=|a|+|b|；向量a 与b反向且|a|＜|b|时，a+b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a+b|=|b|-|a|. 答案：A

12.已知一个点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量

=_______.

解析：如右图，=a,=b,=c,则=+=+=+（-）=a+(c-b)=a+c-b

答案：a+c-b

13.在平行四边形ABCD中，若|AB+AD|=|AB-AD|，则四边形ABCD是__________（填正方形或矩形或菱形）.

解析：由|+|=|-|，即||=||，可得ABCD是一个特殊的平行四边形--矩形.

答案：矩形

14.已知OA=a，OB=b,且|a|=|b|=4,∠AOB=60°.

（1）求|a+b|,|a-b|.

（2）求a+b与a的夹角，a-b与a的夹角.

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解析：如右图，以，为邻边作平行四边形OACB ，

∵|a |=|b |=4,∠AOB=60°,

∴OACB 为菱形.

(1)a +b =OA +OB =OC ,

a -

b =OA -OB =BA ,

∴|a +b |=||=2||=2×2

3×4=34, |a -b |=|BA |=4.

（2）∵∠COA=2

1∠AOB=30°， a+b 与a 所成的角即∠COA=30°，

a -

b 与a 所成的角即BA 与OA 所成的角∠CBA=60°.

拓展探究

15.一艘渔船在航行中遇险，发出警报，在遇险处西10 n mile 处有一艘货船收到警报后立即侦察，发现渔船正向正南方向以9 n mile/h 的速度向一小岛靠近，货船的最大航速为18 n mile/h.要想尽快将这只渔船救出险境，求货船的行驶方向和所用的时间.

思路分析：本题是实际问题，首先根据实际条件，用向量表示位移，作出图形，即可解决几何问题.

解：如右图，渔船在A 处遇险，货船在B 处，货船在C 处与渔船相遇，

设所用时间为t ，由已知△ABC 为直角三角形. |BA |=10,|AC |=9t,|BC |=18t,

由勾股定理得： ||2=||2+||2

. ∴182t 2=100+92t 2.

∴t 2=243

100. ∴t≈0.64.