工程随机数学(2011-3)

工程随机数学

赵正予 2011-3

Ch3、多维随机变量及其分布

关键词：

二维随机变量

分布函数 边缘分布函数 条件分布函数 随机变量的独立性 分布律 边缘分布律 条件分布律 概率密度 边缘概率密度 条件概率密度

Z=X+Y的概率密度

M=max(X,Y)的概率密度 N=min(X,Y)的概率密度

§1 二维随机变量

一、问题的提出 例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H

的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每

个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系， 这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。 例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着 点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在

同一样本空间的两个随机变量。

二、定义

一般讲，如果由两个变量组成的有序数组即二维变量（X，Y），其取值 是随着试验结果而定，则此二维变量（X、Y）即称为二维随机变量 （X，Y）。 定义： 设 E 是一个随机试验，样本空间S={e}；

设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量

(X,Y) 叫做二维随机向量或二维随机变量。

X(e)

S

e

Y(e)

注意：

⑴二维随机变量也称为二维随机向量；

⑵我们应把二维随机变量

X ， Y X e ， Y e

e S

看作一个整体，因为 X 与Y 之间是有联系的；

⑶ 在几何上，二维随机变量 X， Y 可看 作平面上的随机点．

多维与一维随机变量的异同之处：

多维是一维的推广。多维中的每个分量都是一个一维随机

变量，如（X，Y）就是同一样本空间中的两个一维随机变量，

因此多维分布具有一维分布的所有性质； 多维中的各分量一般有联系，但这种联系由于千差万别， 十分复杂，通常不能用一个确定的数学式子来表述，因此有必 要联合研究。

对于二维（X，Y），其性质不仅与X、Y有关，而且还依赖

于这两个随机变量的相互关系。这是多维与一维的主要区别。 前者概率特征可完全决定后者，而后者一般不能完全决定前者 （除非相互独立）。

三、二维随机变量的概率分布

定 义

设 X， Y 是一个二维随机变量，则对于任意一对 实数 x， y ，

F x， y P X x， Y y

是 x， y 的函数．称此函数为二维随机 变量 X， Y 的分布函数.

1. 几何意义 F(x, y)表示随机点(X, Y)落在以(x, y)为顶点，且 位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。

2. 概率计算 对于任意的x1＜ x2 ，y1＜ y2，有

P{x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2} ＝F（x2, y2）-F(x2,y1) -F(x1 ,y2)+F(x1 ,y1)

§1 二维随机变量

注意：

F ( x, y) P{ X x, Y y} P{ X x}P{Y y } X